| 線形代数 | セオリー論 | 事例1：遷移系 | 事例2：階層構造 |
|---|---|---|---|
| 基底 | 指標 | 集合＝アルファベット | 単純DAG＝ハッセ図 |
| 基底の要素 | 記号セル | 要素＝文字 | アロー、辺 |
| 線形結合 | コンビネーション | 文字列＝ストリング | パス |
| 自由ベクトル空間 | セオリー | 自由モノイド | 自由やせた圏 |
| (無し) | モデル | 遷移系〈プレオートマトン〉 | 集合の階層構造 |
- ローヴェアの元祖セオリー論では、セオリーとモデル〈代数〉しか登場しない。
- ほとんどのセオリー論では、指標も使う。バーワイズ → ゴグエン／バーストル の系譜。
- 他の「セオリー」と特に区別したいときは、「ローヴェアの意味のセオリー〈theory in the sense of Lawvere〉」、「ローヴェア{流 | 風}セオリー〈theory à la Lawvere | Lawvere-style theory〉」と言う。
- 同様に、「代数」も「ローヴェアの意味の代数〈algebra in the sense of Lawvere〉」、「ローヴェア{流 | 風}代数〈algebra à la Lawvere | Lawvere-style algebra〉」と言う。
- モデルはターゲット圏ごとに変わるが、まずは集合圏モデル＝標準モデルを考える。
ローヴェアのオリジナルとは違うが、指標を使うセオリー論を展開する。人名で形容するなら、バーワイズ／ローヴェア・セオリー論かな。
- Jon Barwise （John ではない）
- William Lawvere
- Joseph Goguen, Rod Burstall
セオリー論のフレームワーク：
- S ⊆ S' ←→ C → CAT 0∋ Set
説明：
- S ： 指標の圏
- S' ： 拡張指標の圏
- ←→ ： 随伴関係
- C ：ドクトリン的圏〈doctrinal category〉：ドクトリンに支配される圏＝“圏の圏”とみなせる圏
- → ： ドクトリン的圏の構造関手／解釈関手／忘却関手 ドクトリン的圏を実際に“圏の圏”とみなす働き
- 0∋、∈0 ： 対象として所属する
補足と注意：
- とりあえずは、「ドクトリンとは何か？」とは考えない。「ドクトリン的圏」の定義だけ注目して、構造関手〈解釈関手 | 忘却関手〉をドクトリン的圏の一部と考える。
- セオリー＝随伴の右圏であるドクトリン的圏の自由対象
- セオリーの圏は、随伴の右圏であるドクトリン的圏の部分圏
用語解釈の注意： 人間は本能的に自然言語で考えようとする。本能を抑えるトレーニングが必要。言い換えると、well-trained person になる必要がある。
- 国語辞書的に、癖が強く扇情的・刺激的な強い言葉でも、ドライに形式的定義だけで理解する。（覚悟・心構えとして）
- 用語の一貫性・整合性・統一性はまったくない（ルールがない）ので、ルールを期待せず個別に暗記する。（覚悟・心構えとして）
- 用語は、セッティング／文脈のなかで意味を持つ。セッティング／文脈から切り離しては解釈不可能。
- 実体を意味しない用語がある。所属組織と肩書き〈役割 | 機能性〉に命名する。実体を問題にしないことは非常に多い。
- ひとつの概念に対して、色々なセッティング／文脈／観点により、色々な呼び名がある。
- ひとつの概念に対して、歴史的・社会的経緯から、多数の同義語がある。
- ひとつの語・記号に対して、複数の異なる意味がある。オーバーロードとコンフリクト。
- 「形容詞＋名詞」が有意でも、形容詞単体、名詞単体では無意味〈解釈不能〉なときがある。
- 名詞が形容詞化しているとき、もとの名詞の意味が失われていることがある。失われていなくても言及しないことがある。
