リー群類似物とリー代数類似物

幾何っぽい

リー群からリー代数を作る関手をリー線形化関手〈Lie Linearlization Functor〉と呼び、LLと記す。

  • LL:LieGrp→LieAlg

バンドル構成〈bundle construction〉 (-)-Bdl[-] により、リー群バンドルとリー代数バンドルが作れる。

  • LieGrp-Bdl[M]
  • LieAlg-Bdl[M]

グロタンディーク構成で、

  • LieGrp-Bundle
  • LieAlg-Bundle

リー線形化関手は、次のように拡張できるだろう。

  • LL:LieGrp-Bundle→LieAlg-Bundle

これとは別な方向で、内部圏構成＝2-構造構成がある。

  • 2-Str(C) := Model(cat, C)

catは圏の指標（または、指標から作られた自由圏）。2-Str(C) の対象は、Cの内部圏＝圏対象に他ならない。2-Str(C)の対象を、Cの2-構造または2-対象と呼ぶ。

  • 2-構造 ＝ 2-対象 ＝ 内部圏 ＝ 圏対象

例：

  1. 2-Str(Vect) ＝ 2-ベクトル空間の圏
  2. 2-Str(LieGrp) ＝ 2-リー群の圏
  3. 2-Str(LieAlg) ＝ 2-リー代数の圏

LLを内部圏化＝2-構造化できるだろう。

  • LL:2-Str(LieGrp)→2-Str(LieAlg)

内部圏化＝2-構造化 2-Str(-) は、交差加群構成〈crossed module costruction〉と同値になる。

  • 2-Str(C) \cong XMod(C)

したがって、次もあるだろう。

  • LL:XMod(LieGrp)→XMod(LieAlg)

さらに、水平圏化〈horizontal categorification | oidification〉がある。

  • LieGrpd := Model(gpd, Man)

水平圏化にともなうLLは、

  • LL:LieGrpd→LieAlgd

このLLの構成は、特有な技法を使っているように思える。

2-Str(LieGrp)〈リー2-群の圏〉 と LieGrpd〈リー亜群の圏〉、2-Str(LieAlg)〈リー2-代数の圏〉 と LieAlgd〈リー亜代数の圏〉 との関係が気になるが、イマイチはっきりとは掴めない。内部圏と水平圏化の関係が必要なのかもしれない。

あるいは、ボードマン／フォークト・テンソル積が必要なのかもしれない。