リッチ述語、リッチバッグ、K集合

教育 セミナー

次の可換図式がある。

$`\require{AMScd}
\begin{CD}
|{\bf FinSet}| @>{\mathrm{card}}>> {\bf N}\\
@AAA @AAA \\
|{\bf ThinSet}| @>{\mathrm{IsNonEmpty}}>> {\bf B}
\end{CD}\\
\:\\
\text{commutative in }{\bf SET}`$

やせた集合は空集合または単元集合。図内の上方向の矢印↑は自然な埋め込み。

これを踏まえて、

  • リッチ述語： $`p:X \to |{\bf ThinSet}| \text{ in }{\bf SET}`$
  • リッチバッグ： $`b:X \to |{\bf FinSet}| \text{ in }{\bf SET}`$

圏の対象の同型類としてK集合が定義できる。$`{\mathrm{K}(\mathcal{C})}`$ 。

  • $`\mathrm{K}:{\bf Cat}|_{\le 1} \to {\bf Set} \text{ in }{\bf CAT}`$
  • $`\mathrm{K}:{\bf CAT}|_{\le 1} \to {\bf SET} \text{ in }\mathbb{CAT}`$

リッチ述語とリッチバッグは、それぞれ

  • やせたバンドル
  • 有限項バンドル

になる。