テレスコープとグロタンディーク構成とグロタンディーク／フビニの定理の関係：
indexed thing = indexed family of things を単にファミリーと呼ぶ。インデックス付き圏もファミリーになる。テレスコープはファミリーに関して定義できる。テレスコープの第1成分から、第n成分はファミリーになる。n = 0 ならインデキシングシングだけ、n = 1 なら単一のファミリーになる。つまり、テレスコープは、グロタンディーク構成／シグマ構成を挟んだファミリーの拡張概念になる。
一方で、高階ファミリーは次のように定義する。
- 0階のファミリーはベースシング
- 1階のファミリーはファミリー
- 2階のファミリーはファミリーを値とするファミリー
- 2階のファミリーは2階のファミリーを値とするファミリー
- n階のファミリーは(n -1)階のファミリーを値とするファミリー
高階ファミリーとテレスコープが対応する依存カリー同型があると思われる。高階ファミリーはテレスコープに分解〈decompose | factorize〉できる。逆に、テレスコープは高階ファミリーに合成〈synthesize | 統合 | 集約〉できる。
テレスコープのシグマ構成と高階ファミリーのシグマ構成が同型であることを主張するのがフビニの定理。ツリー／フォレスト理論や述語論理での対応物を見つけたい。
n-ファミリーの定義は次：
$`F: \delta I \to n{\bf Cat} \text{ in }(n +1){\bf CAT}\\
\text{where }I \in_0 n{\bf Cat}, \delta :n{\bf Cat} \to (n + 1){\bf CAT}
%`$
n = 0：
$`F: \delta I \to {\bf Set} \text{ in }{\bf CAT}\\
\text{where }I \in_0 {\bf Set}, \delta :{\bf Set} \to {\bf CAT}
%`$
n = 1：
$`F: \delta I \to {\bf Cat} \text{ in }2{\bf CAT}\\
\text{where }I \in_0 {\bf Cat}, \delta :{\bf Cat} \to 2{\bf CAT}
%`$
