モーレー／カルタン微分

やはり、「対数微分」より「モーレー／カルタン微分」のほうが誤解が少ないかも。

• ∂f = df/f = f^-1df

が通常の微分 df とのおおよその関係>。

モーレー／カルタン微分演算子∂は、G→ΩL という層のあいだの演算子。層は、多様体M上で定義されるとする。

• ∂:G→ΩL （イタリックのG, Lに注意）
• For U in Open(M), ∂_U:G(U)→Ω(U)_A(U)L(U)

以下、順に説明。

Gをリー群、Iを開区間として、φ:I→G をなめらかな写像とする。Tφ:TI→TG は接写像。Gのリー環をLとすると、TG G×L という大域自明化が存在する。大域自明化を後結合して、TI→G×L、1-セクションと射影を前後に結合する I→TI→TG→G×L→L これにより、I→L という写像が得られるので、それを φ':I→L とする。これは準備。

M上で定義されてGに値を持つ関数の全体に点ごとの群構造を入れてゲージ関数群と呼ぶ。それを、G = G_M とする。

• G_M := C^∞_M(-, G) = Γ_M(U, M(×G))

LをGのリー環として、M上で定義されてLに値を持つ関数の全体に点ごとのリー環構造を入れたリー環を、L = L_M とする。

• L_M := C^∞_M(-, L) = Γ_M(U, M(×L))

x∈M と ξ∈T_xM に対して、

• (∂f)_xξ = ( f(x)^-1・(fγ) )'(0)

と定義する。これらは、

• γ:I→M はなめらかな曲線で、γ(0) = x, (dγ/dt)(0) = ξ 。別な言い方をすると、γは、接ベクトルξの代表元（接ベクトル＝曲線の同値類 という定義では）。
• f^-1 は、fとGの逆元写像の結合。f^-1(x) = f(x)^-1、逆写像と混同しそうだけど。
• ・は群Gの積（乗法）。

次の書き方をする。

• (∂f)_xξ = (∂_ξf)_x = (∂_ξf)(x)

∂_ξf は、モーレー／カルタン偏微分、あるいはモーレー／カルタン方向微分と言っていい。

∂f は、M上で定義された、リー環（ベクトル空間）Lに値を持つ微分形式とみなせるので、fのモーレー／カルタン微分形式（モーレー／カルタン微分演算子の値である微分形式）と呼ぶ。

G(U) の要素を（U上の）ゲージ関数と呼べば、モーレー／カルタン微分形式は、ゲージ関数ごとに定義される。モーレー／カルタン微分演算子を利用したゲージ関数の微分計算は、モーレー／カルタン微分計算〈Maurer–Cartan differential calculus〉。

モーレー／カルタン微分計算の上に、主層の微分計算＝共変モーレー／カルタン微分計算＝接続付き主層の理論 が展開できる。

多様体M上のG-モーレー／カルタン微分計算と、G-主層の微分計算の公理化は、マリオス／バシリウーがやっている。これは、非アーベル微分計算になっている。