落ちるネコ〈猫〉問題とスティックキャット - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

ドナルドソンの論説

Title: Mathematical aspects of gauge theory: lecture notes (February 21, 2017)
Author: Simon Donaldson
Pages: 41p
URL: https://www.lsgnt-cdt.ac.uk/assets/8h00svqzffcqd97tf8oxcokv199scmjb.pdf

のp.3に、"The falling cat"の問題がある。この例題は難しい。

ノルの論文集の三番目の論文

Title: [3] Updating The Non-Linear Field Theories of Mechanics (2004)
Author: Walter Noll
URL: http://www.math.cmu.edu/~wn0g/FC.pdf

を読みながら考えた。

ネコ〈猫〉を連続体〈continuous body〉と考えると（事実に忠実だが）難しい。スティックマンならぬスティックキャットで考える。スティックキャットは、8点7辺の有向グラフとする。

頂点集合 C₀： H 頭, T 尾端, F 前, B 後, FL 前左, FR 前右, BL 後左, BR 後右
辺集合 C₁： [F, H] 首, [F FL] 左前脚, [F, FR] 右前脚, [F, B] 胴, [B, BL] 左後脚, [B, BR] 右後脚, [B, T] 尾

ネコの抽象形状〈abstract shape〉は、上のグラフ構造で与える。質量や物性はグラフ上の何らかの関数として定義する。辺は剛体でスティックと呼ぶ。

Eを3次元ユークリッドアフィン空間として、ユークリッドアフィン枠を固定してR³と同一視する。ネコの配置〈placement〉は、C₀→R³ で決まるが、スティックが剛体である制約があり、ネコの配置空間〈placement space〉は、(R³)⁸ の部分空間になる。

ネコの運動〈motion〉は、時区間から配置空間への写像になる。配置により得られた、E（R³で代用）内の図形を具象形状〈concrete shape〉と呼ぶ。具象形状は幾何グラフになる。なにか選ばれた配置を基準配置.〈reference placement〉と呼び、基準配置の具象形状を基準形状〈reference shape〉、または基準領域〈reference region〉と呼ぶ。具象形状＝配置の領域は、ユークリッド空間内の部分点集合と考える。

換置〈transplacement〉とは、領域〈具象形状〉からユークリッド空間への、点集合のあいだの写像である。選んだ基準配置の領域〈region〉を域〈domain〉とする換置の集合を換置空間〈transplacement space〉と呼ぶ。換置空間は、基準配置に依存する。配置空間と換置空間は、1:1に対応するので事実上は同じものである。

ノルは、2004年に40年前の著書の用語法をリバイスしてるが、configurationとdeformationの定義を変えている。ノルの新configurationを、ここでは姿勢〈attitude〉と呼ぶ。ノルの新deformation-processを、姿勢の変更過程〈deformation-process of attitude〉と呼ぶ。変更過程は運動と同義になる。

ネコの抽象形状 C = (C₀, C₁) において、C₀上の距離を姿勢と呼ぶ。スティックの長さも距離になるが、剛体なので変更〈deform〉できない。距離空間になったCも姿勢と呼ぶ。区別したいなら、姿勢距離と姿勢構造。

一般に、変更過程〈deformation-process〉とは、時間パラメータを持った何かで、時間パラメータの空間をTとして、T→X という写像。Tが離散構造なら離散変更過程〈discrete deformation-process〉、連続構造なら連続変更過程〈continuous deformation-process〉。連続変更過程を運動とも呼ぶ。

ノルは、姿勢（それを configuration と読んでる）の変更過程だけを deformation-process と読んでいるが、狭すぎるだろう。変更過程は一般的な意味として、姿勢の変更過程、姿勢の運動という言い方をする。

ネコの姿勢と、姿勢の変更過程は、ネコの意思で自発的に制御可能だとする。この制御により、うまく着地することになる。とりあえず、ネコ問題のスティックキャットによる記述だけはできた。記述だけだから、本番はこれから先だが、難しい。

[追記]