用語・記号の変更
- 双対空間 → パートナー空間
- ￢V は、Vのパートナー空間
- V* は、Vのフォーム空間、ホム空間と考える。
- V* は、Vのポインター空間、ホム空間と考える。
- fの双対は双対のままだが、対偶〈contraposition〉、転置〈transposition〉、メイトとも呼ぶ。
- f*は使わない。
- インデックス付き基底 → 基底
- 基底 → 直接基底
様々なコンビネータを使う。
| コンビネータ名 | 飾り文字 | つづり名 |
|---|---|---|
| ポインター化〈pointerization〉 | 上付きチルダ（格上げ）(-)~ | Ptr |
| 要素化〈elmentization〉 | 下付きチルダ（格下げ）(-)~ | Elm |
| 線形拡張〈linear extension〉 | 上付きダラー（モナド拡張）(-)$ | LExt |
| 双対化〈dualization〉 | 上付きチェック (-)∨ | Dual |
| 相反化〈reciprocalization〉 | 上付きシャープ (-)# | BRecip, MRecp |
| 線形化〈lenearlizatio〉 | 上付き L（モナド拡張）(-)L | Lin |
- BRecip = basis recip
- MRecip = morphism recip
相反化が難しい。
- 相反化は基底〈インデックス付き基底〉に対して作用する。
- 結果は、パートナー空間の基底である。
- 相反化基底の線形拡張をコフレームと呼ぶ。
- コフレームは、フレームの双対の逆になる。フレームとコフレームの関係も相反と呼ぶ。
- コフレームの定義に使う双対ペアはデカルト／ユークリッド内積ペアとする。
- 可逆射に対しては、双対、逆、相反の三種類のコンビネータ〈オペレータ〉が作用する。
- 基底に対する相反基底と可逆射に対する相反射は別物だが、言葉はオーバーロードされている。
- 基底〈インデックス付き基底〉には相反基底〈インデックス付き基底〉が一意に取れて、それがパートナー空間の基底〈インデックス付き基底〉になることが最も重要。
等式
- f∨ ∨ = f
- f∨ -1 = f-1 ∨
- 基底 a に対して、a# $ = a$ ∨ -1 = a$ -1 ∨
- (-)$ に対するモナド等式、関手は R(-)、ηA が単位。
