マリオス風の計算の基礎

現行の記法・用語は文句言おうがどうにもならないので、基本的に現行記法・用語を使う方針。以下、順不同。

推奨	現行
チャート	{局所}?座標{系}?
チャート開集合	座標近傍
チャート写像	座標{系}?
チャート成分関数	座標{成分}?{関数}?
座標関数系	{局所}?座標{系}?
座標関数	座標{成分}?{関数}?
座標微分系	-
座標微分	-

1. チャート (U, x)
2. チャート開集合 U
3. チャート写像 x
4. チャート成分関数＝座標関数 xⁱ := πⁱx
5. 座標関数系 (xⁱ)^i=1..n ∈C^∞_M(U)ⁿ
6. 座標微分 dxⁱ ∈Ω¹_M(U)
7. 座標微分系 (dxⁱ)^i∈1..n ∈(Ω¹_M(U))ⁿ

座標微分系＝座標関数の微分達の系 は、1次微分形式加群のフレームになることが本質的に重要。加群のフレームを以下に説明。

Rが可換環、MがR-加群とする。

• Frame_R^k(M) := {f∈M^k | fはR上に一次独立で生成系}
• Frame_R^k(M) R-Mod^Iso(R^k, M)
• Frame_R(M) := Σ_kFrame_R^k(M)

Frame_R(M) ≠ ∅ のとき、MはR上に自由だという。この定義の自由では階数の一意性はいえない。例えば、無限個の不定元から生成された可換多項式環をRとすると、R R² が成立するので、階数は決まらない。階数が決まるとき、有限階{数}?自由と呼ぶ。Mの階数は、rank_R(M) とする。[追記]これを単に「自由」と呼んでもいいけどね。[/追記]

位相空間X上の可換環層R上の加群層Mが局所有限階数自由とは、任意のXの点に対して、開近傍Uがあって、U上でMが有限階数自由。局所有限階数自由な加群層は、局所フレームが取れるから、

• M(U) R[α₁, ..., α_n], [α₁, ..., α_n]∈Frame_Rⁿ(M)

と書ける。

階数を点ごとに定めると、局所定数関数なので、連結成分ごとに定数値を取る。大域的に（連結成分にかかわらず）階数が定数のとき、定階数局所有限階数自由加群層と呼ぶ。

1次微分形式の加群層が、定階数局所有限階数自由加群で、そのフレームが座標微分系で与えられるとき、可換環層の上の導分{付き}?加群層〈module-with-derivation sheaf〉は、ほぼ多様体として扱える。

{局所?}座標関数系とは、可換環層のn個のセクションの並びで、その微分達が1次微分形式加群のフレームになっているもの。任意の点のまわりで、座標関数系 (x₁, ..., x_n) が指定された導分加群構造が取れるとき、構造可換環層の上の導分加群層は、次元nの多様体として扱える。