なめらかさ補題とその周辺

ベクトル場と導分の対応は、可微分性補題が鍵だと分かった。

まず、言葉の準備。

1. {偏}?微分係数
2. {偏}?導関数
3. {偏}?微分作用素
4. 点導分 P, Q
5. 領域導分 X, Y

対応は、

代数的・公理的	解析的・具体的
点導分	微分係数汎関数
領域導分	微分作用素

古臭いが、

1. 汎関数： 関数空間から実数
2. 作用素： 関数空間から関数空間

接ベクトル＝点導分なので、接ベクトル場＝点導分場。点導分場を Ξ, Θ などで表す。領域微分から点導分場、点導分場から領域微分への対応。

1. 領域微分 X
2. 点導分場 Ξ
3. 成分関数 ξⁱ

逆は、

1. 成分関数 ξⁱ
2. 領域微分 Σξⁱ∂_i

なめらかさ補題〈smoothness lemma〉：

• 点導分場Θに関して次は同値。
  • Θの成分関数 θⁱ はなめらかである。
  • 作用素 (Θ▷-) はなめらかである。

作用素がなめらかとは、なめらかな関数を渡すとなめらかな関数を返すこと。

記法：

1. PtDer(U, a) 点aでの点導分の全体 Der(C^∞(U)/R, R)
2. RgnDer(U) 領域U上の領域導分の全体 Der(C^∞(U)/R, C^∞(U))
3. 
4. 点導分場 Θ:U→
5. 領域導分から点導分場 X Ξ、Ξ:U→