テンソルの基底と表現 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

記号と定義	タイプ	利用目的	利用例
$[{}_i] = F(i)$	ベクトル	フォーム成分取得	$f_i = f([{}_i])= f\circ [{}_i]$
$[{}^i] = \langle F^\#(-i)\mid\mbox{-}\rangle$	フォーム	ベクトル成分取得	$x^i = [{}^i](x) = [{}^i] \circ x$
$[{}_{-i}] = F^\#(-i)$	コベクトル	コフォーム成分取得	$\phi_{-i} = \phi([{}_{-i}]) = \phi \circ [{}_{-i}]$
$[{}^{-i}] = \langle\mbox{-}\mid F(i)\rangle$	コフォーム	コベクトル成分取得	$y^{-i} = [{}^{-i}](y) = [{}^{-i}] \circ y$

表現：

フォーム： $f = \sum (f_i \triangleright [{}^i]) = \sum (f_i \circ [{}^i])$
ベクトル： $x = \sum ([{}_i] \triangleleft x^i) = \sum ([{}_i] \circ x^i)$
コフォーム： $\phi = \sum (\phi_{-i} \triangleright [{}^{-i}]) = \sum (\phi_{-i} \circ [{}^{-i}])$
コベクトル： $y = \sum ([{}_{-i}] \triangleleft y^{-i}) = \sum ([{}_{-i}] \circ y^{-i})$