微分ナントカ → コジュール接続ナントカ

その他代数 幾何っぽい

微分ベクトルバンドルとその準同型 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の訂正・続き。「微分作用素が付いた」の意味で「微分〈differential〉」を形容詞に付けるのは一般的でないようだ。次のようにする。

  • 共変微分＝コジュール接続
  • 共変微分付き＝コジュール接続付き
  • コジュール接続ナントカ＝コジュール接続付きナントカ＝共変微分付きナントカ

例：

実際は、コジュール接続層＝共変微分付き加群層がすべて。コジュール接続バンドルは、台のベクトルバンドルが定義する加群層にコジュール接続＝共変微分が載ること。

よって微分術（微分計算法）は、すべてのコジュール接続層の圏を調べればよい。コジュール接続層の圏をKoszulConnSheafとする。層が載る空間は多様体だから、ファイバー付き圏 KoszulConnSheaf→Man がある。

グロタンディーク六演算のうち四演算が必要で、グロタンディーク四演算の随伴性を使ってコジュール接続層の圏〈the category of {Koszul-connectioned sheafs | sheafs with Koszul connections}〉を調べる。特に、異なる空間上のコジュール接続層が同型であることが重要。

次の部分圏を考えるとよい。

  • IsoKoszulConnSheaf 同型射からなる亜群、対象は同じ。
  • TrivKoszulConnSheaf 自明バンドルに対応する（大域フレームが取れる）加群層を台とするコジュール接続層。
  • EucKoszulConnSheaf 底空間がユークリッド開集合であるコジュール接続層の圏
  • TrivEucKoszulConnSheaf 底空間がユークリッド開集合である自明バンドルに対応するコジュール接続層の圏。“ベイシック”対象の圏になる。
  • IsoTrivEucKoszulConnSheaf ゲージ取り替え〈change of gauge〉の圏

セクション関手：

  • 大域セクション関手は、コジュール接続バンドルにコジュール接続加群を対応させる。
  • 局所セクション関手は、コジュール接続バンドルにコジュール接続層を対応させる。
  • 大域セクション関手は、局所セクション関手の一部として埋め込める。

局所セクション関手をℓΓとすると：

  • ℓΓ:KoszulConnBundle→KoszulConnSheaf

さらに、リー群Gごとに、

  • PrinConnBundle(G)×Rep(G)→KoszulConnSheaf

ここで、

  • PrinConnBundle(G) ： G-主接続を持つG-主バンドルの圏
  • Rep(G) ： Gの線形表現の圏

問題は、与えられたコジュール接続層から、主接続バンドルと群表現を再現できるか？