locally calculable

本編ネタ 幾何っぽい

自明バンドル上の平行移動Πが calculable 〈微積計算可能〉とは：

  • [U×L] はLファイバーの自明バンドル
  • A∈Γ([U×L])\otimesΩ(U) これは平行移動形式〈parallel-transport form〉
  • Π(γ) = Exp(∫γA) ∈G
  • Π(γ)(v) = Π(γ)・v

局所自明化により calculableになる平行移動は locally calculble 〈局所的に微積計算可能〉。

例：2次元多様体上の複素直線バンドルで、構造群はC☓ = 2次元保向相似変換群＝特殊直交群×正スカラー倍 とする。このとき、Expは複素指数関数になる。セクションは、振幅rと位相角θを持つ波動関数になるが、振幅と位相角のゲージを取り替えると表示（波動関数の露骨形式）は変わる。

∇とΠの関係：

  • ∇のフレームeによる接続形式〈connection form | CF〉 ＝ Πのフレームeによる平行移動形式〈parallel-transport form | PTF〉
  • 簡略に書けば ∇←→Π ⇔ ∀e∈LocalFrame(E).( CF(∇, e) = PTF(Π, e) )
  • フレーム依存の、構造群のリー環値1次形式により2つの構造が決まる。

locally blah blah blah

  1. locally Euclidean
  2. locally trivial
  3. locally calculable

代数的平行移動を、プレ平行移動構造と言い直して、

  • 構造群G、典型ファイバーVのプレ平行移動構造が、局所的に微積計算可能なとき、それは(G, V)-平行移動構造。