ノル〈Walter Noll〉の論説をチラチラ読んでいる。
- Title: Five Contributions to Natural Philosophy (2004)
- Author: Walter Noll
- Pages: 78p
- URL: http://www.math.cmu.edu/~wn0g/FC.pdf
目次：
- [0] Introduction 1
- [1] On the Illusion of Physical Space 5
- [2] On Material Frame Indifference 13
- [3] Updating The Non-Linear Field Theories of Mechanics 23
- [4] The Theory of Simple Semi-Liquids, a Conceptual Framework for Rheology 41
- [5] Nematic Semi-Liquids 59
[0] Intrudoction と [3] Updating The Non-Linear Field Theories of Mechanics をだいたい読んだ。それと、アウブラムの本の最終章
徳岡辰雄の2つの論説、
- https://ci.nii.ac.jp/naid/110002074506 有理力学とは何か
- https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsms1963/23/254/23_254_1022/_pdf 有理力学-新しい連続体力学 第2章 有理連続体力学
二番目は、次の学会誌の連載
PDFの論文タイトルに空白が入っているので検索が困難。"site:www.jstage.jst.go.jp 連続体力学 Noll"でなんとか探した。こういうのは困るなー。
さてと、ノルの主張で「ニュートン絶対空間は幻想だ」（[1] On the Illusion of Physical Space）があって、最初理解できなかったが、次のように考えればよいと分かった。
ゲージ変換群の解釈が電磁場などとは違う。それを説明するためは、バンドル射を分類しておく。
- 底固定バンドル射〈base fixed bundle morphism〉 ： 一般バンドル射の底写像が恒等射
- 底変動バンドル射〈base {unfixed | movable} bundle morphism〉 ： 底写像が恒等とは限らないバンドル自己射
電磁場のゲージ変換群は、底固定バンドル自己同型射の群 Bdl[M]Aut(ξ) 、ニュートン古典力学のゲージ変換群は、底変動バンドル自己同型射の群で、底写像〈base map〉が底空間のアフィン同型射であるもの。
ニュートン古典力学のゲージ場をニュートン場と呼ぶとして、ニュートン場はマクスウェル場と違う側面があって面白い。ゲージ場の理解も深まった。
ニュートン場の構成素：
- 底空間： 1次元のアフィン空間＝絶対時間、アフィン構造からの平行移動を持つ。
- 典型ファイバー： 3次元ユークリッド・アフィン空間、形容詞「ユークリッド」はユークリッド内積を持つことを意味する。ユークリッド・アフィン構造からの内積保存平行移動を持つ。
- ゲージ群： ユークリッド・アフィン群、平行移動と回転の半直積群、ユークリッド・アフィン空間に計量保存変換群として作用する。
- 時開区間： 底空間の座標近傍で位相基底、座標＝底チャートの近傍は時開区間を使う。
- 全空間： ニュートン時空＝ニュートン事象世界〈event world〉
- ゲージ変換群： 典型ファイバーに作用するユークリッド・アフィン群と底空間に作用する時間アフィン・トランジション関数を、バンドルチャートのあいだの受動変換〈passive transform{ation}〉の群と考えたガリレイ変換群
ニュートン場の許容された（選ばれた）局所自明化が慣性系／慣性枠で、慣性系のあいだの受動変換がガリレイ変換＝ゲージ変換となる。厳密に言えば、受動変換としてのガリレイ変換＝ゲージ変換は、全体としては群にはならず亜群となる。
ガリレイ亜群が、受動的変換群からなる亜群である点は非常に面白い（アハッ）。
さて、Bをノルの意味の物体系〈{continuous} body system〉だとして、Iを時区間として、Bの運動（フロー形式）を φ:B×I → W（ニュートンの事象世界） とする（パーティクル形式では I→Emb(B, W)）。ニュートン時空＝事象世界 Wは、計時写像 τ:W→T（Tはニュートンの絶対時間）を射影として持つ。フロー形式の運動 φは、実はバンドル射になっている。時区間Iは絶対時間Tの部分集合なので、運動φは底包含的バンドル射〈inclusion-on-base bundle morphism〉になっている。
ニュートン力学とは、ニュートン場のなかのB-運動の空間を定義し、適切な運動の{法則 | 律 | 関係 | 方程式}を定義して、その法則で許容される運動を調べるstudyである。運動は、底空間である絶対時間上のファイバーバンドルのセクションである。
