シャープネスの計算 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

$\newcommand{\then}{\mathop{?} }% \newcommand{\else}{\mathop{:} }% (\Delta_B \circ f)(\beta, \beta' | a) \\ = \sum_{b\in B} \Delta_B(\beta, \beta' | b) f(b | a) \\ = \sum_{b\in B} eq_B(\beta, \beta', b) f(b | a) \\ = (\, (\beta = \beta')\then \sum_{b\in B} eq(\beta, b)f(b | a) \else 0 \,) \\ = (\, (\beta = \beta')\then f(\beta | a) \else 0 \,) \\$

$( (f\otimes f)\circ \Delta_A)(\beta, \beta' | a) \\ = \sum_{(\alpha, \alpha')\in A\times A}(f\otimes f)(\beta, \beta' | \alpha, \alpha')\Delta_A(\alpha, \alpha' | a) \\ = \sum_{(\alpha, \alpha')\in A\times A}f(\beta | \alpha)f(\beta' | \alpha')\Delta_A(\alpha, \alpha' | a) \\ = \sum_{(\alpha, \alpha')\in A\times A}f(\beta | \alpha)f(\beta' | \alpha')eq_A(\alpha, \alpha', a) \\ = \sum_{\alpha \in A}f(\beta| \alpha )f(\beta'| \alpha )eq(\alpha, a) \\ = f(\beta| a )f(\beta'| a )$

以上より：

$(\, (\beta = \beta')\then f(\beta | a) \else 0 \,) = f(\beta| a )f(\beta'| a ) \\ \mbox{i.e} \\ \forall a\in A.\\ \forall \beta, \beta' \in B.\\ \:\:\beta = \beta' \Rightarrow f(\beta | a) = f(\beta | a)^2 \:\:\beta \ne \beta' \Rightarrow f(\beta | a)f(\beta' | a) = 0\\ \mbox{i.e} \\ \forall a\in A, \beta \in B.\\ \:\:f(\beta | a) = f(\beta | a)^2\\ \forall a\in A. \forall \beta, \beta' \in B.\\ \:\:\beta \ne \beta' \Rightarrow f(\beta | a) = 0 \lor f(\beta' | a) = 0 \\$

もう少し書き換えると：

$\forall a\in A, \beta \in B.\\ \:\:f(\beta | a) = f(\beta | a)^2\\ \Leftrightarrow \\ \forall a\in A, \beta \in B.\\ \:\:f(\beta | a) = 0 \lor f(\beta | a) = 1\\$

成分は0か1に限る。

$\forall a\in A. \forall \beta, \beta' \in B.\\ \:\:\beta \ne \beta' \Rightarrow f(\beta | a) = 0 \lor f(\beta' | a) = 0 \\ \Leftrightarrow \\ \forall a\in A. \forall \beta, \beta' \in B.\\ \:\: \beta = \beta' \lor ( f(\beta | a) = 0 \lor f(\beta' | a) = 0 )\\ \Leftrightarrow \\ \forall a\in A. \forall \beta, \beta' \in B.\\ \:\: \beta \ne \beta' \land f(\beta | a) \ne 0 \Rightarrow f(\beta' | a) = 0 )$

固定したaに対して、1になれるβは高々ひとつだけ。

まとめると：

成分は1か0だけ。
固定したaに対して、1になれるβは高々ひとつだけ。

シャープ射は部分関数。