代数的微分 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

これまたグロタンディーク起源らしいが、http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AM/09-4/roger.pdf に何気なくちょっと書いてあった代数的微分作用素〈algebraic differential operator〉。

Aは階付き可換代数とする。次数〈階数 degree | grade〉rで位数kの代数的微分作用素の定義は、位数に関する帰納的定義で行う。

位数 = k = 0 のとき

$f\in Der^r_0 (A^\bullet) \Leftrightarrow \exists a\in A^r. f(x) = \mu_a(x) = ax \mbox{ for } x\in A^\bullet$

つまり位数0の微分作用素とは掛け算作用素、可換なので左掛け算と右掛け算は気にしなくていい。

$Der^r_k (A^\bullet)$ が定義されているとして、位数 k + 1 の微分作用素は

$\Delta\in Der^r_{k+1} (A^\bullet) \Leftrightarrow \forall a\in A^\bullet.(\, [\Delta, \mu_a ]_{comm} - \mu_{\Delta(a)} \in Der^r_k (A^\bullet) \,)$

この定義、けっこう凄いよな。ライプニッツ則の系列 $\Delta_0, \Delta_1, \cdots, \Delta_n$ ができて、そのあいだの関係式を書き下せる。

追記：あっ、これってゲルステンハーバー括弧だな。 $\newcommand{\hyp}{\mbox{-}}$

$B := \lambda\, a.\bigl( [\Delta, \mu_a]_{comm} - \mu_{\Delta(a)} \bigr) \\ = \lambda\, a.\bigl( (\Delta(a\cdot\hyp) - a\cdot \Delta(\hyp)) - \Delta(a)\cdot\hyp \bigr)\\ = \lambda\, a.\bigl( \Delta(a\cdot\hyp) - (a\cdot \Delta(\hyp) + \Delta(a)\cdot\hyp) \bigr)\\ = \lambda\, a.\lambda\, x.\bigl( \Delta(a\cdot x) - (a\cdot \Delta(x) + \Delta(a)\cdot x) \bigr)\\ = \lambda (a, x).\bigl( \Delta(a\cdot x) - (a\cdot \Delta(x) + \Delta(a)\cdot x) \bigr)\\$