フーリエ解析を2つの部門（パート）に分ける。
| 名前 | スペクトル | 分解 | 合成 |
|---|---|---|---|
| フーリエ級数 | 離散スペクトル | 級数展開 | (特になし) |
| フーリエ変換 | 連続スペクトル | フーリエ変換 | フーリエ逆変換 |
工学では、時間領域と周波数領域という言葉を使う。周波数領域をスペクトル領域／スペクトル空間とも呼ぶことにする。分光学に由来だと思うが、関数からなるCベクトル空間の微分作用素に関する固有値に対応する空間になっているし、C関数環（ノルム環）の極大イデアル＝スペクトルの集合にもなっている。つまり、スペクトル空間と呼ぶのはそれなりに相応しい。
背後にある群で考えると：
もとの空間も群構造が載る空間で、スペクトル空間も群構造が載る。2つの群は双対ペアになっている。
双対ペアは対称的なので、どっちを「もとの空間」と考えるかは自由だが、時間領域（時間の空間）を「もと」だとして、スペクトル空間を変換結果を乗せる空間と考えるのが多いし、たぶん考えやすい。
関数空間の種別として、L2, L1, L2∩L1 あたりを考えるが、なんとなく'H'としておく。H(S1) であれば、アーベル群である空間S1上のなんらかの都合のいい関数空間。
2つの分野を統一的に考えるために、S1またはRをGと書き、その双対群＝指標群をG∨と書く。G∨はZかRを表す。
フーリエ級数展開とフーリエ変換をまとめてスペクトル分解と呼ぶことにする。スペクトル空間におけるスペクトル分布（周波数分布）を求めるから。スペクトル分解は、 H(G)→H(G∨) という写像になるが：
- Cベクトル空間のあいだの線形写像
- 可逆写像であり、逆写像をスペクトル合成と呼ぶことにする。
- スペクトル分解はエルミート内積（複素内積）を保つ（複素）等長写像になる。
- スペクトル分解・合成により、2つの複素内積空間は同型だから、背後に単一の抽象的な複素内積空間があると思ってもよい。
ひとつの同じ空間が見え方が変わっているだけだとすると、時間領域＝時間空間は、その複素ヒルベルト空間の時間基底であり、スペクトル空間はその複素ヒルベルト空間のスペクトル基底になる。単一の抽象的なベクトル空間を異なる2つの基底で見ていることになる。基底に伴う座標空間が H(G) と H(G∨)。
- H(G) ←(時間基底による座標表示)-- 抽象ベクトル空間 --(スペクトル基底による座標表示)→ H(G∨)
時刻xに台(?)を持つデルタ関数をδxとする、スペクトルωに台を持つデルタ関数をεωとすると：
- {δx | x∈G} は、Gでパラメータされた時間基底（Gフレーム）となる。
- {εω | ω∈G∨} は、G∨でパラメータされたスペクトル基底（G∨フレーム）となる。
ここで、フレームとは、集合Sからベクトル空間Vへの写像で、その像集合が基底となるもの。ただし、基底の意味は有限次元とは違って、ある種の位相ベクトル空間自由生成関手Hに依存する概念。つまり、a:S→V がフレームだとは、aが単射であり、aが誘導する線形拡張 a~:H(S)→V が同型射になること。
行きがかり上、背後にある複素内積ベクトル空間をVと書くと、Vの2つの基底（フレーム） {δx}, {εω} がある。δxは、（工学的には）時刻xで生じたインパルス、εωは周波数ωの調和振動{子}?となる。
- 時間基底では、関数は、インパルスの重ね合わせで表示される。
- スペクトル基底では、関数は、調和振動の重ね合わせで表示される。
調和振動は、単振動、正弦波〈サインカーブ、 シヌソイド、サイナソイド〉とも呼ばれる。2次元の等速円運動と考えれば、複素係数と相性がいい。空間波（空間位置変数、1次元値）、振動現象（時間変数、1次元値）、円運動（時間変数、2次元値）で用語法が違うのが鬱陶しい！
時間インパルス基底とスペクトル調和基底と考えると、スペクトル調和基底は微分作用素に関して対角化したときの基底と考えられる。εωは、固有値ωの固有ベクトルになる。スペクトル（の値）でインデックスされた複素1次元部分空間で関数空間を分解できる。インデックスが連続スペクトルなら、連続個の部分空間の直和になる。
離散であれ連続であれ、ベクトルや部分空間の“和”をどうするかが問題になる。基底が単なる集合ではその上の無限線形結合が出来ないから、位相測度構造を持たせ、無限線形結合を与える自由生成関手H＝基底からの関数空間の作り方が問題になる。内積は積分で与えるから測度構造も必要。
記法としては、フーリエ級数／フーリエ変換を統一的に扱いたいので、
- 原関数 f(t) 。変数tは時間領域＝時間空間＝群G を走る。
- 像関数 a(ω) 。変数ωはスペクトル領域＝群G∨ を走る。
- f \(\mapsto\) a は、スペクトル分解またはフーリエ変換と呼ぶ。
- a \(\mapsto\) f は、スペクトル合成またはフーリエ逆変換と呼ぶ。
- スペクトル（群G∨）が離散のときは、Zと同一視して、スペクトル基底による係数を a(k) と書く。
- fをスペクトル分解した結果を、単にfのスペクトル、またはfのフーリエ変換と呼ぶ。フーリエ変換は、フーリエ級数展開も含む。
抽象的なベクトル f の基底による展開表示を重ね合わせを \({\mathcal S}\) として、
- \( f = {\mathcal S}_{x \in G} ( \phi(x)\delta_x) \)
- \( f = {\mathcal S}_{\omega \in G^{\lor} } (a(\omega)\varepsilon_\omega) \) 連続
- \( f = {\mathcal S}_{k \in G^{\lor} } (a(k)\varepsilon_{k}) \) 離散
ここで、スペクトル基底に属するベクトルはいずれも指数関数（角速度／回転数が異なる等速円運動）で表示できて：
- \( \varepsilon_\omega(t) = e^{\sqrt{-1}\omega t} \) 連続
- \( \varepsilon_k(t) = e^{\sqrt{-1}(2\pi k) t} \) 離散
