整理されてないなー。
まず、群（モノイドでもいいが）のC表現とは、
- F:G→C in CAT
という関手で、Gの唯一の対象を*として、F(*)を表現対象（当然にCの対象）と呼ぶ。Fの射部分〈morphism part〉は、G→AutC(A) （Aは表現対象）という群準同型写像になる。Fの射部分をρと書くと：
- ρ:G→AutC(A) in Grp
Fが共変関手のときは共変表現、反変関手のときは反変表現。反変表現は、Gの反対群 Gop の共変表現とみなせるから、
- λ:Gop→AutC(A) in Grp
と書ける。反対群を使って、共変と反変を入れ替え可能なのは、関手のときと同じ（つうか、関手の話だし）。
表現と作用が同値になるのは、それなりの環境と条件が必要だが、適切な環境・条件のもとでは、表現を作用に置き換え可能。
作用には右作用と左作用がある。当たり前だが重要なこと。そして、
- Gの右作用は、Gopの左作用に置き換え可能。
- Gの左作用は、Gopの右作用に置き換え可能。
反変表現と共変表現の差は、右作用と左作用の差になって現れる。
次に同変性の話。もっとも基本的な同変性は、G-作用を持つ対象のあいだの写像が、
- f(x・g) = f(x)・g
を満たすとき。不変性は、
- f(x・g) = f(x)
G-作用を持つXから、H-作用を持つYへの写像が、
- f(x・g) = f(x)・t(g)
を満たすとき、ツイスト同変〈twisted equivariant〉と呼ぶ。tをツイスト因子〈twisting factor〉と呼ぶ。
だがこれは、t:G→H という準同型があるだけのこと。不変性は、自明なツイスト因子でツイストした同変性に過ぎない。ツイスト因子＝群準同型。群準同型tをツイスト因子として伴うツイスト同変性も、単に同変性と呼ぶことがある。
G-作用を持つ対象をG-加群と呼ぶと、GごとにG-加群の圏ができる。これは Module[G] としてインデックス付き圏となる。ツイスト同変射は、このインデックス付き圏のグロタンディーク平坦化圏の射になる。したがって、G-加群のインデックス付き圏からグロタンディーク構成したファイバー付き圏で考えるのがよい。
同一の対象に、群Gが二種類の作用を通して作用しているとき。「同変」は別な意味になる。
Xが2つのG-作用を持つ対象として、2つの右作用を x・g, x*g と書く。
- x・g = x*g for all g∈G
を満たすxからなる集合を、イコライザー部分集合と呼ぶ。集合ベースじゃなくても、うまいことイコライザー部分対象を定義できるかも知れない。
イコライザー部分集合は、同変射ともツイスト同変射とも関係ない。が、次の状況では、関係する。
X, YをG-加群として、f:X→Y に対して
- fg(x) := f(x・g)
- hf(x) := f(x)・h
と定義すると、Map(X, Y) に2つのG-加群構造が入る。2つのG-作用のイコライザー部分集合が、XからYへの同変射の集合と一致する。Map(X, Y) のなかで、同変射を特徴付けるために、2つの作用のイコライザー条件が使える。
主バンドルの接続形式を、TP→g という写像とみなすと、TP側にG作用があり、g側にも随伴表現によるG作用がある。写像 A:TP→g が2つのG作用に関して同変写像であることは、2つのG作用に対するイコライザー部分集合であることと同じになる。
