主バンドルの接続と分裂完全列

分裂完全列については：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Split_exact_sequence

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(P, B, G, π, ρ) を主バンドルとする。

• Pは全空間
• Bは底空間
• Gは構造群であり典型ファイバー〈{typical | standard} fiber〉
• πは射影
• ρは、GのPに対する右作用

リー群Gのリー環をgとする。自明バンドルは B[×F] のように書く。

• Ω¹(P, g) := Ω¹_P(P, P[×g]) = Γ_P(P, [TP, P[×g]]) = Γ_P(P, P[×g]T^*P)

これは、g係数の1次微分形式の空間（の層）。（1次の）微分形式の空間は、ベクトルバンドルの射の空間でもある。

• Vect-Bdl[P](TP, P[×g]) Γ_P(P, [TP, P[×g]])

余域が自明バンドルのときは、

• Vect-Bdl[P](TP, P[×g]) C^∞_fib-lin(TP, g)

ここで、fib-linはファイバー方向では線形写像であること。TPが自明バンドルかどうか分からないので、トランジション関数（ヤコビアン）表現は保証されない。

ρ:P×G→P という作用から、I_p:G→P, I_p(g) := ρ(p, g) により、点pにおける右軌道注入〈right orbit injection〉が定義できる。I_pをgで微分すると：

• T(I_p):TG→TP

Gの単位元での微分係数は、

• T_e(I_p):g→TP

点pを空間Pに渡って動かすと：

• J:P[×g]→TP

という写像ができる。これは、TPの垂直部分空間バンドルのファイバー（＝垂直ベクトル空間）を各点でgと同一視する写像。

K = Tπ:TP→TB とすると、

• 0→P[×g]-(J)→TP-(K)→TB→0 over P

はP上のベクトルバンドルの完全列になる。この完全列の分裂 A:TP→P[×g] が主バンドルの接続形式になる。

• A∈C^∞_fib-lin(TP, g)

ところが、

• C^∞_fib-lin(TP, g) Vect-Bdl[P](TP, P[×g]) Γ_P(P, [TP, P[×g]]) Ω¹_P(P, P[×g])

なので、A∈Ω¹_P(P, P[×g]) = Ω¹(P, g) とみなせる。

ただし、Aは単なるg値の微分形式ではなくて、作用に対する同変性〈equivariance〉を満たさなくてはならない。この同変性がまたゴチャゴチャしている。別記事にする。→
表現と作用と同変性 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編