PolLinは：
- 対象はベクトル空間である。
- 多対象はベクトル空間のリストである。これを多ベクトル空間と呼ぶ。
- 多射は多線形写像 f:Γ→Δ
- 多射 f に対して、f! : Γ→
(Δ) mullin, !f! :
- 演算には、カット（単純カット、マルチカット、フルカット）がある。フルカットは圏の結合演算になる。
- 多射のモノイド積〈テンソル積〉がある。多対象ではリストの連接。シーケントとしては連言またはマージ。
- ホムセット（同じプロファイルを持つ多射の集まり）はベクトル空間である。その意味で、PolLinはベクトル空間豊饒多圏、あるいは線形多圏である。
- したがって、カットはホム空間の双線形写像である。
- 多対象には対称群〈置換群〉が作用している。
- したがって、PolLinは対称多圏である。
- 有限個のベクトル空間から生成したPolLinは厳密対合的な双対対応 #(-) を持つ。
- #(-) と テンソル積に関して、コンパクト閉構造を持つ。
- PolLinは、コンパクト閉対称モノイド線形多圏
