セクション関手、ジャーム関手、層化、エタール化

"層に関してちょっと 2： 層化 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)" のまとめ。

• RelSp[X] := Top/X

と定義する。Xを固定した上で、

1. RelSp[X] の対象を、X上の相対空間と呼ぶ。
2. (φ:A→X) in RelSp[X] のとき、A = (A, φ_A) と書く。
3. Aをメイン空間、Xを底空間、φを構造射と呼ぶ。
4. 構造射の一点の逆像をファイバーと呼ぶ。ファイバーが空のこともある。

例：X = R として、

1. A = 空集合、φ_A は唯一の写像 φ_A:φ→R
2. A = 1 = {0} = (一点だけの空間)、φ_A(0) = 1
3. A = R、φ_A = id_R

次に関手達：

1. Γ:RelSp[X]→PSh[X] セクション層関手 Γ(A) = Γ(φ_A:A→X) = Γ(-, A)
2. Λ:PSh[X]→RelSp[X] ジャーム相対空間関手
3. Ψ:PSh[X]→Psh[X] 層化関手
4. Ξ:RelSp[X]→RelSp[X] エタール化関手

モナド・コモナド構造を与える自然変換達：

1. η::Id_PSh[X] ⇒ Λ*Γ = Ψ : PSh[X]→PSh[X] 層化モナドの単位
2. μ::Ψ*Ψ ⇒ Ψ : PSh[X]→PSh[X] : PSh[X]→PSh[X] 層化モナドの乗法
3. ε::Γ*Λ = Ξ ⇒ Id_RelSp[X] : RelSp[X]→RelSp[X] エタール化コモナドの余単位
4. δ::Ξ ⇒ Ξ*Ξ : RelSp[X]→RelSp[X] エタール化コモナドの余乗法