(新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

4つの微分

幾何っぽい

次の記事で、

接微分と余接微分、射影関係式 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

接微分 ${\mathscr T}$ と余接微分 ${\mathscr T}^*$ を紹介した。ちなみに、“TeXのスクリプト体＝\mathscr＝カリグラフィー体”でTを書いている。プロファイルは、

${\mathscr T}$ : Man→Φ-Mod-Sheaf^-|
${\mathscr T}^*$ Man→Φ-Mod-Sheaf_|-

ターゲット圏は： $\newcommand{\hyph}{\mbox{-}}\newcommand{\modhom}{\underline{hom}}\newcommand{\incat}{\:\:\mbox{in}\:}\newcommand{\ot}{\leftarrow}$

$\Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}^{\dashv} := {\displaystyle \int_{\to\; {\bf Man}}} \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sh}^{\dashv}[\hyph]$
$\Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}_{\vdash} := {\displaystyle \int^{\leftarrow\; {\bf Man}}} \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sh}_{\vdash}[\hyph]$

しかし、これだと不足で、実際には4つの微分を考える必要がある。記号を訂正する。

[下図左上] 引き戻し順行平坦化圏 $\Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}_{\to}^{\dashv} := {\displaystyle \int_{\to\; {\bf Man}}} \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sh}^{\dashv}[\hyph]$
[下図右上] 引き戻し逆行平坦化圏 $\Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}_{\ot}^{\dashv} := {\displaystyle \int_{\ot\; {\bf Man}}} \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sh}^{\dashv}[\hyph]$
[下図左下] 前送り順行平坦化圏 $\Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}^{\to}_{\vdash} := {\displaystyle \int^{\to\; {\bf Man}}} \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sh}_{\vdash}[\hyph]$
[下図右上] 前送り逆行平坦化圏 $\Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}^{\ot}_{\vdash} := {\displaystyle \int^{\ot\; {\bf Man}}} \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sh}_{\vdash}[\hyph]$

微分は：

[下図左上] ${\mathscr T} : {\bf Man} \to \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}_{\to}^{\dashv}$
[下図右上] ${\mathscr T}^{*}_{\ot} : {\bf Man} \to \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}_{\ot}^{\dashv}$
[下図左下] ${\mathscr T}_{\to} : {\bf Man} \to \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}^{\to}_{\vdash}$
[下図右下] ${\mathscr T}^{*} : {\bf Man} \to \Phi\hyph{\bf Mod\hyph Sheaf}^{\ot}_{\vdash}$