層論化

[追記]層論化、まじめに考えると大変だわ。[/追記]

層論化

前層から層を作る層化とは別に、「ナニカの層論化」がある。定式化する。

Cが圏のとき、SがTopの部分圏（Topへの埋め込みを持つ圏）だとして、グロタンディークサイトの構造を持たせる。この状況で、

• 圏CをグロタンディークサイトS上で層論化する

とは、層の圏 Sheaf[S, C] を作ること。この (S, C |→ Sheaf[S, C]) はおそらく二項指数になるはず。データベースで言えば、Sがスキーマに相当する。Cがアンビエント圏。

Presheaf[S, C] は [S^op, C] = C^S となるから、前層は確かに指数だ。

Sはスキーマ相当だが、スキーマのあいだの射〈morphism〉は、“空間の圏”のあいだの関手となる。グロタンディークサイトのあいだの射ということになるだろう。サイトの「大きさ」については、スモールサイトとビッグサイト〈リトルサイトとラージサイト〉。大きさの概念はけっこう曖昧。

となると、Presheaf, Sheaf は、

• GrothSite×CAT→CAT

という関手。

加群／導分加群の理論の層論化

Modを、可換環上の加群の圏とする。SCHを第二可算ハウスドルフ空間の圏だとする。SCHは、ラージ・グロタンディークサイトとみなす。

この設定で、ModをSCH上で層論化する。Presheaf[SCH, Mod], Sheaf[SCH, Mod] を作る。このセットアップのなかで、色々な多様体の圏を作れるだろう。

ただし、単にModでは不十分で、導分加群の圏 DerMod が必要。

• d:A→M

が導分加群だとすると、U∈Open(SCH) として、

• (d:A→M)(U) : d_U:A(U)→M(U)

が、開集合への割り当て。j:V→U が埋め込みとすると：

• r: (d:A→M)(U) → (d:A→M)(V), r_i:A(U)→A(V), r_j:M(U)→M(V)

が制限射になる。