対角公式、抽象シグマ代数 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

次のどうってない公式が、実は重要だと気付いた。

For A, B⊆X, Δ^-1(A×B) = A∩B （対角公式）

積事象が、A×B か A∩B かが不明なのは、この公式で同一視しているからだろう。

A, B を可測空間Xの事象〈可測集合〉（シグマ代数の要素）だとして考えると次の可換図式がある。

$\require{AMScd} \begin{CD} (\Sigma X)\times(\Sigma X) @>{(\times)}>> \Sigma (X\times X) \\ @| @VV{\Delta^{\dashv}}V \\ (\Sigma X)\times(\Sigma X) @>{(\cup)}>> \Sigma X \\ \end{CD}$

ここで、 $\Delta^\dashv$ （TeXで、^\dashv としている）は、逆像。

可測空間Xに対して、そのシグマ集合代数を抽象シグマ代数とみなすことを X $\mapsto$ ΣX だとすれば、次の関手がある。

$\Sigma : {\bf Meas} \to {\bf \sigma\mbox{-}Alg}$

圏σ-Algは抽象シグマ代数の圏で、高々可算演算∪と単項演算(-)^cが適切な公理を満たすもの。

圏Measのモノイド積を独立積〈independent product〉と呼ぶ。記号は×か $\otimes$ のどっちか。とりあえず×にする。Σは、独立積をテンソル積に移すモノイド関手。関手Σの射部分を $(\mbox{-})^\dashv$ と書く（習慣）。

$\Sigma({\bf 1}) = {\bf 1}$
$\Sigma(X\times Y) = (\Sigma X)\otimes (\Sigma Y)$
$(F\times G)^\dashv = F^\dashv \otimes G^\dashv$

Δは、マルコフ圏のコモノイド供給〈コモノイド・モダリティ〉構造の一部。関手Σは反変だから、抽象シグマ代数の圏にモノイド供給を与える。冒頭の対角公式は、このような文脈で考えるべきだろう。