演算子記号、空記号も可能
引数の個数〈項数〉
演算子記号とそれぞれの引数の位置（レイアウト）、親文字と飾り六位置（入れ子も可能）外側になると、真上位置と真下位置が 1, 3, 5, 7, ... と奇数個で増える。ひとつ外側で十位置になり、さらに十四位置になる。位置数は、飾り四段レイアウトで (奇数×2 + 4)
引数の順番、位置に前順序を入れる

TeXでのレンダリングでは、飾り六位置をすべて同時に使うのは難しい。

2020-05-04

BIG3

圏一般論用語法言葉

BIG3 = squat, bench press, deadlift
BIG3 = category, functor, natural transformation

2020-05-01

染み付き多様体の圏とグリフ体

幾何っぽい圏一般論

多様体Mと任意の部分集合S（空でもよいし、Mでもよい）のペア (M, S) を染み付き多様体〈stained manifold〉と呼ぶ。

(M, S), (N, T) を2つの染み付き多様体として、fはS上のN値ジャームとする。S⊆U⊆_openM であるUからの局所写像 U→N の同値類がジャーム。ジャームは、S→N という写像を定義する。これをジャームの芯〈core〉と呼ぶ。芯は染みS上で定義された関数。f(S) は、fの芯によるSの像として、f(S)⊆T を満たすジャームを、染み付き多様体の準同型射とする。

f:(M, S)→(N, T), g:(N, T)→(M, S) があって、芯 f|_S, g|_T が集合の同型を導くとき、染み同型と呼ぶ。染み付き多様体の圏の染み同型類をグリフ体〈glyfold〉と呼ぶ。

任意の多様体の空部分集合は空グリフ体を定義し、(M, M) は全域グリフ体＝多様体になる。よって、グリフ体の圏は多様体の圏を部分圏として含む。

2020-05-01

構造、スタッフ、性質、アビタ

教育 STEM 論理圏一般論セオリー論

スタッフ〈stuff〉はモノ〈thing〉とか構成素〈constituent〉と同じ。構造は、スタッフと性質からなる。性質は公理で定義される。性質を持つ⇔公理を満たす、性質を持つ⇔定理を満たす。公理は条件〈condition〉制約〈constraint | 拘束〉ともいう。

忘却関手は、スタッフを捨てるもの、公理・条件・制約を忘れるものがある。公理を忘れてもスタッフは残るが、スタッフを捨てると関与している公理も捨てざるを得ない。

構造を構成するスタッフは、圏の射（0-射＝対象含む）のことが多い。射であるスタッフが所属する圏を、そのスタッフのアビタ〈habitat〉と呼ぶ。

2020-05-01

自明な共変微分の定義

半形式証明スクリプト STEM 教育

多様体MのR^kファイバーの自明バンドルに対して、任意の開集合上で共変微分が定義できる。その共変微分を"D"という記号で表すとして、それの定義を半形式的に、例えば次のように書く。

$\newcommand{\Definition}{\mbox{Definition}\:\mbox{of}\:}% \newcommand{\implicit}{\:\mbox{implicit}\:}% \newcommand{\Define}{\mbox{Define}\:}% \newcommand{\For}{\mbox{For}\:}% \newcommand{\As}{\mbox{As}\:} \newcommand{\Where}{\mbox{Where}\:} \newcommand{\End}{\mbox{End}\:} \newcommand{\b}[1]{{\bf #1}}% \newcommand{\v}{\_}% \newcommand{\hyph}{\mbox{-}}% \newcommand{\thats}{\:\mbox{thats}\:} % \Definition D \\ \: \For \implicit M \in |\b{Man}| \\ \: \For \implicit U \in |Open(M)|, \implicit k\in \b{N} \\ \: \Define "{}_{M}^{k}D^U_{\v 2}{\v 1}" : \Gamma_M(U, {\b{R}^k}_M) , \; \Xi_M`U \to \Gamma_M(U, {\b{R}^k}_M) \\ \:\:\: \thats \b{R}\hyph BiLin, C^\infty(U)\hyph Der\\ \: \As \\ \:\: \For s \in \Gamma_M(U, {\b{R}^k}_M), X \in \Xi_M`U \\ \:\: {}_{M}^{k}D^U_X s := {}^k X[s] \\ \End$

定義は、Definition of から End まで。
implicit で暗黙の引数〈パラメータ | インデックス〉を宣言する。
Define で、定義すべき射の記法〈notation〉とプロフィールを宣言する。
射のアビタ〈habitat〉である圏を in で指定するか、射の特性を thats で指定する。
As 以降に実際の定義を書く。最初に明示引数を宣言する。
^kX[-] は、関数のk-タプルに作用するようにした微分作用素としてのベクトル場

ちなみに、多様体M上の共変微分は、バンドルチャートを使って、自明な共変微分との差を取る。当該共変微分と自明共変微分との差が接続係数。接続係数は、バンドルチャートの被覆に載ったアフィン空間層の合致族〈matching family | 整合族 | consistent family〉のはず。合致条件〈matching cndition〉はテンソル場と同じだが、遷移関数の作り方がテンソル場とは違うはず。

2020-05-01

問題と解法

教育 STEM

エンジニアが成果アピールで意識すると良い4つの観点 – PSYENCE:MEDIA

イマイチな感じ。問題と解法と立ち位置に分ければいいような。

問題・課題・ターゲット：その問題は解くにあたいするか？価値、意義、重要度、難易度、影響・貢献、応用
解法・アプローチ・プロセス：独自性、革新性、発展性、再利用性
立ち位置：自分はどのような立場・役割を担ったのか。

2020-05-01

さまざまな関手とオペレータ

幾何っぽいまとめ圏一般論

さまざまな関手／オペレータと微分の表示 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)のまとめ＋α。6番から先が追加。

インターベース・バンドル射←→BaseFibベア・バンドル射 ${\bf VectBundle} \cong \int_{\to}{\bf VectBdl}^{\#}$
イントラベース・バンドル射→加群射 ${\bf VectBdl}[M](E, F) \to C^\infty(M)\mbox{-}{\bf Mod}(\Gamma_M(E), \Gamma_M(F))$
イントラベース・バンドル射←→セクション ${\bf VectBdl}[M](E, F) \cong \Gamma_M([E, F])$
関数ベクトル←→関数テンソル $[V, W] \cong W\otimes V^\ast$
イントラベース・バンドル射→加群層射 ${\bf VectBdl}[M](E, F) \to C^\infty_M\mbox{-}{\bf Mod\mbox{-}Sh}(\ell\Gamma_M(E), \ell\Gamma_M(F))$
直積への関数←→関数の直積 $C^\infty(A, B\times C) \cong C^\infty(A, C)\times C^\infty(A, C)$
行列への関数←→関数の行列 $C^\infty(A, Mat(m, n)) \cong Mat[C^\infty(A)]$ (m, n)
自明セクション←→典型ファイバーへの関数 $\Gamma(V_U) \cong C^\infty(U, V)$
関数ベクトル←→関数（豊饒化文脈） $U([V, W]) \cong {\mathcal C}(V, W) \:\mbox{in}\: {\mathcal V}$
ポインター←→要素 $[\theta, A]_{\mathcal C} \cong A \:\mbox{in}\: {\mathcal C}$

2020-04-30

まとめる

圏一般論幾何っぽい本編ネタ用語法課題まとめ

以下の内容をひとつの記事にまとめる。

「イントラ」の初出は、イントラ層射〈intra-spacial sheaf morphism〉層に関してちょっと - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

インデックス圏の飾り文字は、インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

2020-04-29

生成単位と要素・ポインター変換

本編ネタ幾何っぽい圏一般論

生成単位θを持つ自己豊饒圏Cで、

[θ, A]_C $\cong$ A in C

が成立する。これが成立するθを生成単位と呼ぶから、同語反復だが。

事例：

圏	生成単位
Set	1
PtSet	2
Vect_K	K
R-Mod	R
VectBdl[M]	R_M
Sh[X]	1`
R-Mod-Sh[X]	R

[θ, A]_C $\cong$ A in C を要素・ポインター・同型と呼ぶが、ほんとに要素であるためには、Cが具象圏でなくてはならない。

Setの要素は、集合の要素
Se[X]の要素は、大域セクション
Setの要素は、集合の要素か空
Se[X]の部分要素は、局所セクション

生成単位対象、対象の要素／部分要素、ポインター射の関係を調べる。

2020-04-29

微分公式

本編ネタ教育 STEM 幾何っぽい

本編さまざまな関手／オペレータと微分の表示 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) に関連して。

$\dot{x}$ は、接バンドルのホロノーム座標のファイバー成分
$\check{x}$ は、余接バンドルのホロノーム座標のファイバー成分
$\frac{\partial \phi}{\partial x}$ は、ユークリッド空間Rⁿ値関数のヤコビアン

次のプロファイルを持つ。 $\newcommand{R}{{\bf R}}$

$\dot{x}:TM|_{def(x)} \to \R^m$
$\check{x}:T^\ast M|_{def(x)} \to \R_m$
$\frac{\partial \phi}{\partial x} \in \Gamma_M(Mat(m, n)|_{def(x)})$

次の公式を合理的に解釈するのが課題

$\dot{y} = \partial(y\circ x^{-1}) \cdot \dot{x}$
$\check{y} = \check{x}\cdot \partial(y\circ x^{-1})$
$Df = \frac{\partial}{\partial z}\cdot \frac{\partial (z\circ f)}{\partial x}\cdot dx$