フレームとコフレームと解釈

まず、Xを集合として、

• X^[n] ： Xのn-縦タプルの集合
• X_[n] ： Xのn-横タプルの集合

Xⁿ, X^[n], X_[n] は同型だが同一視はしない。

Vがベクトル空間のとき、V_[n]は、ベクトルのn-横タプルの集合、Vのベクトルのn-横タプルを、Vのベクトルn-横タプル、nが不要なら、Vのベクトル横タプルと呼ぶ。同様に、Vのコベクトル縦タプルも定義する。

Vのベクトル横タプルの成分の集合が、Vの基底をなすとき、フレームと呼ぶ。

Vのコベクトル縦タプルの成分の集合が、V^*の基底をなすとき、コフレームと呼ぶ。

行列に代えて、ベクトル横タプル、コベクトル縦タプル、フレーム、コフレームを扱う。

次のような積（双線形写像）を考える。

1. V_[k]×R^[k]→V 線形結合
2. V^*×V_[k]→R_[k] コベクトルによるベクトルタプルの計測（評価）＝ コベクトルのゲルファント評価タプルによる座標
3. (V^*)^[k]×V→R^[k] ベクトルによるコベクトルタプルのゲルファント計測、ベクトルのコベクトル評価タプルによる座標
4. R_[n]×(V^*)^[k]→V^* 双対空化における線形結合

上記の積は二項演算なので、片方を固定することによる作用（左からの作用と右からの作用）を考える。

	順（左作用）解釈	双対（右作用）解釈
ベクトル横タプル	R[k]→V	V*→R[n]
コベクトル縦タプル	V→R[n]	R[n]→V*

特に、写像が同型になるときは：

	順（左作用）解釈	双対（右作用）解釈
フレーム	縦逆座標	双対空間の横座標
コフレーム	縦座標	双対空間の横逆座標

この表で、左右が互いに双対で、上下が互いに逆になっている。左右の双対は解釈を代えているだけなので、データとしてのフレームは同じもの（変化しない）、作用の方向（右側、左側）を代えているだけ。

集合としての基底をフレームとして解釈して、それを順解釈すると、縦逆座標になる。その双対の逆＝逆の双対を取ると、双対基底の解釈になる。

• 基底の標準的な写像解釈＝縦逆座標解釈
• 双対基底の標準的な写像解釈＝横逆座標解釈
• 2つの標準的な解釈のあいだの関係は、双対の逆＝逆の双対

基底から写像までの解釈

1. 順番を付ける
2. パラメータ・デカルト空間を縦か横かを選ぶ。