ベクトル場の標準表示

幾何っぽい tips

U, V, W などは多様体Mの開集合、A, B, Cなどはユークリッド空間Rn の開集合。チャート写像 φ に対して、dom(φ)⊆M, im(φ)⊆Rn。

(U, x)はチャート、im(x) = A とする。U上のベクトル場 X∈ΓM(U, TM) は、gi∈C∞(A) を使って、

  • X = \sum g^i(x)\frac{\partial }{\partial x^i} 標準表示

と書ける。ここで：

  • gi(x) は、gi\circx の意味。
  • ∂/∂xi は、(∂/∂xi)(f) := Di(f\circx-1) で定義される作用素。

標準表示は、上記の解釈のもとで正確な表現である。関数のタプル (gi) は、ベクトル場のチャートxによる成分表示を与える。これは次の同型を与える。

  • C∞(A)n \stackrel{\sim}{=} ΓM(U, TM)

特に、∂/∂xi∈ΓM(U, TM) で、セクション空間のC∞(A)-加群としての基底（フレーム）を与える。

  • チャート (U, x) を前提にして、関数タプル空間 C∞(A)n は、 ΓM(U, TM) と同一視できる。同一視の根拠は標準表示。