RDBもERモデルもズレているところがある。
- 「実体」は、実体の母集合〈population | parent set〉、実体の状態〈インスタンス〉、母集合の要素、状態の要素、そして実体名のどれだか分からない。
- 実体の状態は、母集合の部分集合だから、1からの関係、または1への関係として定義できる。つまり、実体状態は関係。
- 関係も母集合を持つが、それは関係のプロファイルとしてエンコードされる。
- Rel(1, A)
Pow(A)、Rel(A, B)
- 部分集合＝一項関係も二項関係とみなせる。
- 三項関係も二項関係とみなせる。ただし、みなし方が三種類あり、それらは結合律子と単位律子で繋がっている。
- ドメイン＝値の基本型と、実体の母集合は区別すべき。
- 仮に、新ERモデルからできる圏をER圏と呼ぶと、ER圏の生成系を決めるのが設計。
- ドメインの集合と実体母集合の集合でER圏の大枠は決まる。
- ER圏の対象は、ドメインまたは実体母集合から直積ペアリング／タプリングで生成される。
- そのなかで、ドメインだけから作られた対象達と、平坦な対象達が、部分クラスとしてある。ドメインだけから作られた平坦な対象が、RDBでは使われる。
- テーブルは関係〈関連インスタンス〉であって、ターゲット対象がドメインだけからなる平坦な対象であるもの。
- テーブルの全体は、部分圏にはならないので、独自の計算が必要。
- テーブルの計算体系は、直積（これは関係の直積）と、ジョインからなる。関数結合もテーブル計算のなかで使ってよい。
- 関係圏またはテーブル系のなかで、独立性と生成性を問題にする。線形代数の線形独立性〈一次独立性〉と生成性と似てる。
- ER圏の部分集合Σ（対象と射の部分集合）に対して、対象または射が独立とは、Σで生成された圏に入らないこと。独立でないなら従属。
- ER圏の部分集合Σが生成的とは、Σで生成された圏がもとの圏に一致すること。
制約は次のように記述する。
- Rが関係のとき、univalent(R) は制約として意味を持つ。
- Rが関係のとき、Def(R)⊆Src(R), Img(R)⊆Trg(R) は集合値の項としてよい。
- 集合値の項のあいだの包含関係は制約として意味を持つ。
これでだいたい記述できるだろ。
Dが《ドメイン》として、Rel(1, D) の要素SはDの部分集合を表すので、Img(S)⊆D と同一視できる。R:X→D in Rel のとき、Img(R)⊆Img(S) はRのドメイン制約〈ドメイン条件制約〉となる。
実体状態EのキーKに対する主キー制約は：
- Img(E)⊆Def(K)
- univalent(K)
参照整合性制約は、R:X→Yで、Yの状態 B:1→Y があるとき、
- Img(F)⊆Img(B)
以上に挙げた、ドメイン条件制約、主キー制約、参照整合性制約は、Img, Def, univalentで書ける。univalentは、転置と結合と恒等関係のあいだの包含関係で書ける。DefとImgは、どちらか片方があれば転置で書ける。結局、転置、結合、恒等、Def（定義域）があればよい。
肝心な事は：
- ちゃんとした制約記述言語を使って、制約を明示的に書き出す。
- 実体状態や、ドメインの部分集合も関係だと認識する。1が重要。
- 変更〈mutation〉により、制約が破られることがある。それにどう対処するかは別問題。制約違反〈異常 | 矛盾〉を阻止するのか検出・報告するのかは設計判断。
- 圏の部分集合〈指標 | スキーマ〉の生成性を理解する。
- 圏の部分集合〈指標 | スキーマ〉と、ひとつの対象・射の独立性を理解する。
- 圏の計算とテーブルの計算が違うことを認識し、対応関係を理解する。
ERスキーマは次のものからなるべきだろう。
- 生成対象である、ドメインと実体母集合
- 基本関係〈関連？〉記号のプロファイル（実体状態記号は、関係記号に入る）
- 制約記述
ERスキーマの状態〈モデル〉は、事前に決っているドメイン名と実体母集合名に集合を割り当て、関係記号に関係を割り当てる対応。Relの部分圏が決まる。
変更によって、ERスキーマの状態は変化する。制約を破らない変更（の族）が、状態〈モデル〉のあいだの準同型射となる。
制約に出現する包含関係を2-射と思うと、スキーマから生成される圏は2-圏、Relも自然に2-圏になる。となると、スキーマ間のスキーマ射〈指標射〉もモデル〈状態〉も2-関手でなくてはならない。2関手を対象とする、2-関手・2-圏が必要だから、2-関手・2-圏の2-射としてのモディフィケーションが必要になるのか。なるほど。
だいぶ見えてきた。関係圏のダガー閉モノイド構造以外に2-構造が必要になる。制約は2-構造内にエンコードされる。さらに制約の比較として3-射が出てくる。
- 0-射： 集合
- 1-射： 関係
- 2-射： 関係のあいだの包含関係＝制約
- 3-射： 制約のあいだの強弱比較
