前層と主バンドルの例

幾何っぽい 説明 具体例

前層の例：U⊆X を開集合とする。

  1. I(U) := U
  2. Op(U) := {V⊆U | Vは開集合}
  3. Cl(U) := {A⊆U | Aは閉集合}
  4. K(U) := {X⊆U | Xはコンパクト}
  5. ConstA(U) = A
  6. Pow(U) := {X⊆U | Xは任意}
  7. Powfin(U) := {X⊆U | Xは有限集合}
  8. B(U) := (Uの開集合から作られたボレルσ代数)
  9. PM(U) := (B(U)上の確率測度の全体)
  10. FM(U) := (B(U)上の有限値測度の全体)
  11. Homeon(U) := {f:U→Rn 位相同型}
  12. FM(U) := {f:U→R 有界関数}
  13. MY(U) := {f:U→Y 任意}
  14. Met(U) := {U上の距離}
  15. Ch0(U) := (U上のZ係数0次元チェーンの全体)

1次元以上の特異チェーンの全体は、余前層になるが、前層にはならない。

主空間の例：

  1. アフィン空間
  2. Xをn元有限集合として、totord(X) をX上の全順序の全体とすると、totord(X)にSym(n)が作用して、主作用になる。
  3. Xをn元有限集合として、cycord(X) をX上の巡回順序（順序関係ではない）の全体とすると、cycord(X)にn次の巡回群が作用して、主作用になる。
  4. S1にU(1)が主作用する。

グラフ上の主バンドル：

  • 頂点に主空間の表現空間（頂点ごとに別々でよい）、辺に構造群の群元を割り当てる。
  • セクションは、頂点ごとに表現空間の元（基点）を対応させる。セクションはゲージになる。
  • グラフのパスの圏に対して、ホロノミー表現が定義できる。ホロのミー表現の表現圏は、表現空間を対象として、構造群の群元を射とする亜群（主バンドルのホロノミー亜群）になる。