符号理論の基本の定義がダメだった

符号〈コード〉の定義がダメだった。Qをアルファベットとして、Qⁿの部分集合をコードと定義しているが、実際はそれじゃダメだ。

Q^k, Qⁿ, g:Q^k→Qⁿ の3つ組がブロック符号系だとは：

• gが単射

のとき。この構造の役割名は：

• Q^k を情報空間
• Qⁿ をブロック空間
• gを生成子〈ジェネレーター〉
• 像 g(Qⁿ) ⊆ Qⁿ を語空間
• 語空間の補集合を非語空間（これ重要）

ブロック符号系のあいだの準同型射は、

• σ:Q_k→Q_k は置換
• f:Q_n→Q_n' は任意の写像

のとき、(Q^k, Qⁿ, g) から (Q^k, Q^n', g') への射となる。ただし、σ, f, g, g' は可換図式になる。同型射と符号系の同型はこれから定義できる。符号系の同型類を考える場合もある。

定義や命題が個別符号系に対するものか、符号系の同型類に対するものかが曖昧になっている。システマティック符号系の定義は、同型類ではなくて、個別の符号系の話で、同型では保存されない性質になる。

符号系の定義で出てくるQを体、Qⁿを有限次元ベクトル空間、写像はすべて線形としたとき、線形ブロック符号系、あるいは線形符号系となる。線形符号系での同型では、最小距離が保存されることも証明を要する。証明できれば、最小距離は同型不変量となり、同型類に一意な値となる。

双対符号系の概念も、(Q^k, Qⁿ, g) と (Q^n-k, Qⁿ, h) の双対性として定義しないとわけが分からない。

ところで、座標〈座標位置〉を、情報位置〈information position〉と冗長位置〈{remaining | parity} position〉に分類・分離できるかがしばしば話題になる。

MDS〈max distance separable〉符号の定義に関連して、すべてのk次元射影が情報射影（情報セット）になっているという定義が出てくる。k次元射影は、基底（フレーム）に依存するので、同型類ではなくて個別の符号系の話。

• n次元からk次元への座標射影が情報射影だとは、生成子が射影のセクションとなっていること。（おそらく、だいたいは）

すべてのk次元射影が情報射影であるような符号系が分離的か？ 定義がハッキリしないので何とも言えないが。ともかくも、リード／ソロモン符号は、すべてのk次元射影が情報射影になっている。

「システマティック位置」というのも、k個の位置から決まる射影に関する概念で、射影がある種のセクションを持つかどうかの話。特有の用語法と、特有の概念構成をしているので分かりにくい。

符号系の場合、座標＝フレーム＝基底を固定した議論がけっこうあるから、座標依存性をよく考える必要がある。もう一度、定義から見返さないと。