昨日書いた記事 "ゲージ理論としてのノル／ニュートン力学 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編" に補足。昨日記事の大筋はいいのだが、若干の誤認が含まれる。
ニュートン場＝ニュートン・ゲージ系＝ニュートン／ユークリッド／ガリレイ・ファイバーバンドルは、射影 τ:W→T 典型ファイバー E で与えられる。底空間＝絶対時間 T も、典型ファイバー＝標準空間 E も、アフィン構造を持つのが特徴的で、それぞれの移動〈transport | translation | displacement | shift | 変位〉ベクトル空間を V, D とする。
Tに働くアクティブ〈能動的〉変換群は時間並進群、Eに働くアクティブ変換群はユークリッド・アフィン群 R3|×SO(3) （半直積）。これらの群がアクティブ対称性の群になる。
微妙なところは、ゲージ＝局所自明化＝バンドルチャートをどう捉えるか。一般に、Eがバンドル全空間、E|U がEのストリップ〈短冊〉だとして、E|U→U×F（Fは典型ファイバー）をゲージと呼ぶか、それとも E|U→V×F ををゲージと呼ぶかの差異がある。U→V は底空間の多様体チャート。
ゲージが E|U→U×F のときは、ゲージのトランジションは、ゲージ関数 U→Aut(F) で定義できる。しかし、ゲージが E|U→U×F のときは、ゲージ関数だけではゲージのトランジション（パッシブ変換）を定義できない。
ゲージ変換とは、ゲージのトランジション（取り替えの影響）のことだから、ゲージの定義が変わればゲージ変換の定義も変わる。ゲージに、底空間の開集合からの多様体同型が入るとき、底可変ゲージ〈base movable gauge〉と呼ぶことにする。底可変の対語は底固定〈base fixed | identity-on-base〉。
慣性系＝ガリレイ・ゲージは、底可変ゲージになる。したがって、ガリレイ・ゲージのトランジション（パッシブ変換）であるガリレイ変換も底可変なトランジションになる。V, V'をRの開集合として、ガリレイ変換は V×R3→V'×R3 という底可変バンドル射になり、底写像 V→V' は1次元のアフィン写像になる。
慣性系＝ガリレイ・ゲージが大域ゲージのときは、ガリレイ変換の全体は群になる。しかし、局所ゲージまで考えると、ガリレイ変換の全体は群ではなくて亜群になる。これは、底写像の全体が群ではなくて亜群なのだから当然である。
通常は、大域ガリレイ・ゲージだけを考えるので、ガリレイ・ゲージのあいだのトランジションであるガリレイ変換の全体は群（ガリレイ群）になる。
底固定でないゲージ・トランジションであっても、ゲージ関数＝ヤコビアンを考えることはできる。ゲージ関数群も考えることができるが、亜群としての結合は、ゲージ関数群の積（単純な点ごと積）ではない。合成関数の微分公式＝チェーン法則に従った積になる。
- （定義よりパッシブな）ゲージ変換の全体が亜群であるときは、ゲージ関数の積はチェーン法則で計算する。
反省点は、局所ゲージで底可変なゲージに対するトランジション（パッシブ変換）の全体がなすゲージ変換亜群の計算がハッキリとしてなかったこと。特に、ゲージ関数〈ヤコビアン〉とゲージ変換の関係が曖昧だったこと。
