この記事は、次の回答の内容：
接続付きG-バンドルに関して、{ホロノミー | モノドロミー}群と{ホロノミー | モノドロミー}表現を考えることができる。バンドルの接続が平坦〈可積分＝無曲率〉の場合、ホロノミーとモノドロミーを区別する必要はない。
平坦でない接続（曲率＝フィールドストレングスを持つ場）では、ホモトピー的に自明な閉曲線に沿った平行移動が自明でない変換をもたらす。ホロノミー群は、曲率に関する情報も持っている。モノドロミー群は曲率情報を潰している。
この定義が有効なためには、次のような表現がある。
- パスの圏 -(ホロノミー表現)→ ホロノミー群 ⊆ 構造群G
- ホモトピー自明パスの圏 -(ホロノミー表現)→ 正規部分群 ⊆ ホロノミー群 ⊆ 構造群G
- ホモトピー群 -(モノドロミー表現) → モノドロミー群 ⊆ G/正規部分群
ホロノミー群は、接続の曲率情報を持つが、モノドロミー群はより基本的な位相的情報しか持たない。
ホロノミー表現＝パス圏の構造群への表現において、ホモトピー自明ループの像は曲率群と呼んでいいのではないか？ 曲率群が自明なら平坦接続＝無曲率接続。
微分幾何的に考えるときは：
- ホロノミー表現： パス圏 → 構造群
これは、ほとんど平行移動と同じ。
https://mathoverflow.net/questions/95939/what-is-the-difference-between-holonomy-and-monodromy の回答1
Holonomy = monodromy iff the bundle is flat. In general, monodromy group is the quotient of holonomy group by the normal subgroup formed by parallel transports along homotopically trivial loops. One of the simplest examples when two groups are different is the holonomy of the tangent bundle of the standard Riemannian metric on the 2-sphere. Then monodromy is trivial since sphere is simply-connected, while holonomy group is SO(2). Two more remarks. First, the conundrum: What is the holonomy of a complete hyperbolic surface S? The answer: It depends who you ask. A differential geometer (like Robert Bryant) would think of the tangent bundle and his answer would be SO(2) or O(2) (depending on orientability). A hyperbolic geometer (like William Thurston) would think of the hyperbolic structure as a special (X,G)-structure and answer: π<sub>1</sub>(S)⊂PSL(2,R). (An (X,G) structure could be regarded as a flat X-bundle with a section transversal to the flat connection, so holonomy of the flat bundle is the holonomy of the structure.) If you were to ask me, I would say "It depends ..." Second remark: For cultural, historic, etc. reasons, given a flat bundle, differential geometers and topologists tend to use the word "holonomy," while people in algebraic geometry, complex analysis, singularity theory, tend to use the word "monodromy."
