軸性ベクトル、疑ベクトル

内積を持つ3次元空間の特殊事情がある。

1. V^*の要素（コベクトル）が、内積によりVの要素とみなせる。
2. 外積空間 V∧V の要素が、ホッジ双対によりVの要素とみなせる。
3. SO(3)のリー環である歪対称行列〈反対称行列 | 交代行列〉の空間がたまたま3次元なので、適当な同型によりVの要素とみなせる。

結果的に“Vのベクトル”と呼べるものが：

1. Vの要素： 反変ベクトル
2. V^*の要素： 共変ベクトル
3. V∧V の要素： 疑ベクトル
4. so(3)の要素： 疑ベクトル

Vに関連したベクトル空間の要素を、Vのベクトル量と呼んでしまい、Vのフレーム取り替えに対する挙動で分類する、というトンチンカン。

1. 反変ベクトル場 ＝ 接ベクトル場
2. 共変ベクトル場 ＝ 接コベクトル場 ＝ 1次微分形式
3. 面積疑ベクトル場 ＝ 2次微分形式
4. 軸性疑ベクトル場 ＝ リー環ベクトル場

味噌もクソも一緒とはこのことだ。