これは!? ゲルファンド変換の分析

ゲルファンド変換は複数あったようだ。これは、意外に大発見かもしれない。

 v  :R →V ベクトル
 ----------------------------- ゲルファンド化
 v^ :V*→R 双対空間の形式


  a :V*→R 双対空間の形式
 ------------------------------ 反ゲルファンド化
  `a: R→V ベクトル


  f : V → R 形式
 ------------------------------- コード化（エンコード）
  f': R → V* 双対空間のベクトル


  f : R → V* 双対空間のベクトル
 ------------------------------- 反コード化（デコード）
  f : V → R 形式


  v  :R →V ベクトル Ж : V→V** ゲルファンド変換
 ------------------------------------ ゲルファンド変換前送り
  v^' : R → V** 二重双対空間のベクトル

キモは、ベクトル／コベクトル／形式／余形式の区別。

• vが型Vのベクトル ⇔ v:R→V
• wが型Vのコベクトル ⇔ w:R→V^*
• fが型Vの形式 ⇔ a:V→R
• αが型Vの余形式 ⇔ α:V^*→R

さらに

• ゲルファンド対応： Vのベクトル←→Vの余形式 （圏論的コンビネータ）
• コード対応： Vの形式←→Vのコベクトル （圏論的コンビネータ）
• ゲルファンド変換 Ж_V:V→V^** in C （内部の射）

随伴系／メイトの理論とも比較せよ！

[追記]Ж_Vで表されるゲルファンド変換（同型射） Ж_V:V→V^** と、圏論的コンビネータであるゲルファンド化と反ゲルファンド化があり、区別する必要がある。

• ゲルファンド化 (-)^#: C(R, V) → C(V^*, R)
• 反ゲルファンド化 (-)^♭: C(V^*, R) → C(R, V)

ゲルファンド変換は、圏C内の同型射、ゲルファンド化／反ゲルファンド化はホムセット間の写像であるコンビネータ。

この違いが曖昧だった。この違いは本質的！
[/追記]