ベクトル微分系と対数微分系

• ベクトル微分系〈vector differentiation system〉
• 対数微分系〈logarithmic differentiation system〉

	ベクトル微分系	対数微分系
基礎系	体K （R or C）	群G
構造層	K-可換環層A	G-群層G
微分層	Ω	ΩLA(G)
微分演算子	d:A→Ω	∂:G→ΩLA(G

積の微分法則：

1. ベクトル微分： d(fg) = (df)g + f(dg)
2. 対数微分： d(st) = ρ(t^-1)(∂s) + ∂t

ベクトル微分系 (X, A, Ω, d) 上には、ベクトル層の共変微分∇が載る。対数微分系 (X, A, Ω, G, ∂) 上には、主層の対数共変微分Dが載る。共変微分を持つベクトル層を接続付きベクトル層、対数共変微分を持つ主層を接続付き主層と呼ぶ。

(X, A, Ω, d) 上の接続付きベクトル層と、(X, A, Ω, G, ∂) 上の共変微分付き主層は1：1に対応する。具体的な対応は、被覆Uに対する0-コサイクルと1-コサイクルによって記述する。

ベクトル層の自明化（＝局所フレーム表示）をベクトルゲージ、主層の自明化を主ゲージと呼ぶ。ベクトル・ゲージは、n（バンドルの階数）個のセクションのタプル、主ゲージは、1個だけのセクション。

• チャート＝局所自明化＝局所フレーム＝ゲージ
• 反チャート＝反曲自明化＝局所反フレーム＝反ゲージ

局所コフレームは、双対空間（余ベクトルバンドル）のフレームのこと。