続・連続体力学

幾何っぽい 物理っぽい

次の日本語の記事を読んだ。

気になっていた言葉の徳岡さん（故人）による解釈：

  1. 物体 B ： 多様体
  2. 粒子 X ： Bの点、物体点
  3. 質量 ： B上の測度または体積形式（最高次元の微分形式）
  4. 配置〈configuration〉 ： Bからユークリッド空間Eへの埋め込みの像
  5. 領域 ： Bからユークリッド空間Eへの埋め込みの像
  6. 運動 ： 時間パラメータを持つ、BからEへの写像 T→Emb(B, E)
  7. 位置 ： Eの点
  8. 速度 ： Eの接ベクトル
  9. 基準配置〈reference configuration〉κ ： 選ばれた配置
  10. 変形〈deformation〉χκ ： (後述)

配置が写像かその像か不明確だけど、次のように解釈すべきだろう。

  • 配置 ∈ Emb(B, E) ： 多様体BからEへの埋め込み
  • 領域 ⊆ E, 領域 = 配置の像

昨日言及したダニエル・アウブラム〈Daniel Aubram 発音はわからん〉著作と比較してみる。

アウブラムは、配置（徳岡さんのconfiguratio）をplacementと読んでいて、configuration = deformation としていた。ところが、アウブラム／特岡ともに、変形〈deformation〉がハッキリしない概念で：

  • 基準配置（写像）κの像である領域を U⊆E 、絶対時間をTとして、χκ:U×T⊃→E を変形と言っているようにも思える。
  • カリー化すれば、T→Emb(U, E) となるので、変形と（特岡の）運動は同じように思える。
  • アウブラムの絵では、特定の2つの時点 a, b∈T に対して、χκ(-, a) の像とχκ(-, b) の像のあいだの同型写像を変形と呼んでいるように思える。

次のようにしよう。

  1. 曖昧性が激しい、configurationは使わない。
  2. B→E という写像を配置〈placement〉と呼ぶ。
  3. 選ばれた配置 κ:B→E を参照配置〈reference placement〉と呼ぶ。
  4. μ:T⊃→Emb(B, E) を運動〈motion〉と呼ぶ。B = 1 のときは、曲線／パスも同義語。
  5. μの反カリー化 ν:B×T⊃→E も運動と呼ぶ。
  6. χ(B) = U ⊆ E として、BをUで置き換えた T⊃→Emb(U, E), U×T⊃→E を変形〈deformation〉と呼ぶ。
  7. 運動と変形は酷似している。物体多様体Bと参照配置Uの違いだけ。
  8. アウブラムの意味の変形は、移動〈transport | displacement〉と呼ぶ。移動には時間パラメータは入らない。

この用語法でも問題はある。

  1. 移動が、平行移動やリー移動の用法と整合しないかもしれない。平行移動やリー移動を、こちらの意味に合わせる、ってのもあるが。
  2. 変形〈deformation〉＝時間パラメータあり、変位〈displacement〉＝時間パラメータなし、とする案もある。
  3. 変形は流れと同じだから、流れ〈フロー〉と呼んでしまう案もある。

変形＝流れ＝移動 が自然かも知れない。変位〈displacement〉が中間をなくして、時間パラメータがない写像。

写像の域が物体多様体か参照領域かで違うのが鬱陶しいのだが、その違いを無視して：

  • 配置＝配位： 域がB（またはU）
  • 変位： 域が B + B（または U + U）
  • 変形＝移動＝運動＝流れ： 域が B×Tの部分 （または U×T の部分）

時間の空間T側で考えると、

変位 = 変形(∂I) という意味で、コバウンダリδがあって、δ変形 = 変位 = (配置 - 配置) かも知れない。

写像空間で考えると：

  • 配置空間 = Emb(B, E) or Emb(U, E)
  • 変位空間 = Emb(B, E)2 or Emb(U, E)2
  • 変形空間 = MapT(-, Emb(B, E) or MapT(-, Emb(U, E))

変形空間は、時間の空間T上の無限次元多様体を値にする層なのかも知れない。