偏微分作用素と双対基底 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

偏微分を∂を使って書く習慣、いまさらどうにもならないが、意味なかった。d/dx でよかった。∂/∂x は不適切な記法だった。

(∂/∂xⁱ)_i∈1..n と (dxⁱ)_i∈1..n は互いに双対基底〈双対フレーム〉なのだが、この点を合理化するにも次の習慣が良かった気がする。

v = [v₁ ... v_n] をフレームで、その双対フレームを f = [f₁ ... f_n] とする。vの双対フレームを記号的に I/v と書く。単位行列をIと書けば、

(I/v)v = I

は次の意味で成立する。

$\begin{bmatrix} f_1 & \cdots & f_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ : \\ : \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1(v_1) & \cdots & f_n(v_1) \\ : & : & : \\ : & : & : \\ f_1(v_n) & \cdots & f_n(v_n) \\ \end{bmatrix} = I$

さらに、

(I/v)_i =: 1/vⁱ =: (vⁱ)^-1

とする。ただし、もとのフレームvの番号は上付きに変更する。

双対のペアリングを <-|-> とするが、特に d<f | v> のように書く。

d< 1/v^j | vⁱ >

vのところにdxを入れると：

d< 1/dx^j | dxⁱ >

これは、フレーム dxⁱ と双対フレーム 1/dx^j がペアリング d<-|-> により双対であることを示す。一般的には、ベクトル場Xと微分形式αに対して、d<X|α> あるいは δ<α|X> のようなペアリングがある。