S⊆M を閉集合とする。OS(M) をSを含む開集合の集合とする。ここに次に同値関係を入れる。
- U ～ V :⇔ ∃W∈OS(M).( W⊆U かつ W⊆V )
この同値類をSの無限小近傍と呼ぶ。
S上の関数ジャームは、無限小近傍で定義された関数と考える。
多様体と閉集合の組 (M, S) と多様体Nに対して、Sの無限小近傍で定義されたN値関数の全体を
- CrGerm( (M, S), N)
と書く。
ジャーム概念を使って、流れのジャームを定義する。
(M×R, M×{0}) は多様体と閉集合のペアになる。次が流れジャームの空間。
- C∞Germ( (M×R, M×{0}), M)
φを流れジャームの代表元とすると、φは、M×{0}の開近傍で定義されているから、U⊆M と ε>0 による φU,ε:U×(-ε, ε)→M という写像の族で表現できる。
次の同型があるだろう。
- X(M) ←→ C∞Germ( (M×R, M×{0}), M)
右向きの対応は、
- Flow:X(M) → C∞Germ( (M×R, M×{0}), M)
左向きは、
- Velo:C∞Germ( (M×R, M×{0}), M)→X(M)
それぞれ、
- ベクトル場が生成する流れ Flow(X)∈C∞Germ( (M×R, M×{0}), M)
- 流れジャームの速度ベクトル場 Velo(φ)∈X(M)
マクロな流れは、微分同型変換（自己可逆換位）の空間への時区間からの写像。なので、微分同型変換空間の曲線になる。この曲線の一点での接ベクトルが、流れ{ジャーム}?の速度接ベクトル場。
微分同型変換群が無限次元リー群で、流れの速度接ベクトル場が無限次元リー環。ヤコビ・リー括弧は、接ベクトル場のリー括弧＝リー微分。
- 運動のパーティクル形式 ： 速度ベクトル ＝ 運動の流れ形式 ： 速度ベクトル場
