ヤコビ計算 拡張

圏一般論 トピック

ヤコビ計算とは、自明ファイバーバンドルの圏の計算ということになる。自明ファイバーバンドルは、底空間とファイバーからなるが、底空間の圏Bと、ファイバーの圏Fを仮定する。

  • Bは、対称モノイド圏である。モノイド積は通常直積だが、他でもいいかも。
  • Fは、B上に具象的で、B豊饒圏である。

典型例は：

  • Bは多様体の圏
  • Fは有限次元ベクトル空間の圏 FdVect

別な例は

  • Bは多様体の圏
  • Fはリー群の主空間の圏 G-Prin

Bを他の圏にした例が欲しい。

X, Y in F に対して、F(X, Y) を [X, Y] と書く。具象性から X, Y in B、豊饒性から [X, Y] in B とみなす。豊饒圏Fの結合を、

  • (#):[X, Y]×[Y, Z]→[X, Z] in B

とする。

ヤコビ・ペアは、f:A→B in B, a:A→[X, Y] のペア (f, a) である。ヤコビペアは、自明ファイバーバンドルの射とみなす。つまり、

  • (f, a):A(×X)→B(×Y)

(f, a):A(×X)→B(×Y), (g, b):B(×Y)→C(×Z) の結合は

  • (f, a);(g, b) := (f;g, a#(f;b))

とする。a#(f;b) の意味は、<a, f;b>;(#) である。

この結合により、自明ファイバーバンドルとヤコビペアは圏をなす。ヤコビ圏と呼ぶことにする。

  • ヤコビ計算 ＝ ヤコビ圏における計算

“とあるヤコビ圏”をベイシック〈モデリング片〉とするコンポジット〈グロンディ多様体〉を作れる。それが一般のファイバーバンドル。コンポジットを作るには被覆構造が必要だから、Bはグロタンディークサイトである必要がある。

非可換群係数のコホモロジーを拡張して、圏係数のコホモロジーが出来ないか？ C を圏、Uを被覆として、チェック・チェーン空間 C0(U, C), C1(U, C) を作りたい。1-コチェーンのコサイクル条件とコホモローグ関係〈コホモロガス関係〉の定義が必要。