多様体のクライン幾何

幾何っぽい

クラインのエルランゲン・プログラム：

教授就任の講演だったのは知ってたが、1872年（150年前）、23歳だってぇー。

不変量云々はいいとして、「群Gが空間Sに作用している状況」を考える、という方針に注目する。この状況をクライン幾何〈Klein geometry〉と呼ぶ。Gをクライン幾何の構造群〈structure group〉と呼ぶ。

  1. 大域クライン幾何： GがSに作用している状況
  2. 大域線形クライン幾何： S = V がベクトル空間、Gの線形表現
  3. 無限小線形クライン幾何： 接ベクトル空間 V = TpM ごとに線形クライン幾何＝群Gの表現
  4. 無限小クライン幾何： ファイバー Fp ごとにクライン幾何＝群GのFp表現、例：円周バンドル＝U(1)-主バンドル
  5. 混合クライン幾何： 各点で無限小クライン幾何があり、底空間にも大域クライン幾何がある。無限小構造群と大域構造群の絡まり具合が問題になる。

大域構造群は、得体のしれない無限次元群になることがある。多くの場合、大域構造群 G = Diff(M) だが、Diff(M) はよくわからない巨大な群。Diff(M) のリー代数として、Γ(TM) = Ξ(M) が登場する。

無限小構造群、または内部構造群は有限次元リー群のときが多い。したがって、混合クライン幾何の無限小・大域の絡み合いは、有限次元リー群と無限小リー代数との絡み合いの形を取ることが多い。

多様体のクライン幾何＝混合クライン幾何の発展として、無限小（あるいは局所）構造群の代わりに、構造亜群、あるいは構造∞亜群への拡張がある。

幾何空間と幾何量／幾何構造の２つのモノに群類似物（亜郡／亜代数、その高次版）が作用していて、作用のあいだの関係、関係のあいだの関係、…… などが問題になる。驚くべきことに、150年前の23歳の青年が言っていたことは今でも有効だ。