群の作用

群の作用 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 にある程度書いてあるが、肝心のことが書いてない。

  • 安定子: Gx = {g∈G | x・g = x} をxの安定子〈安定部分群〉と呼ぶ。安定子は部分群。
  • 効果的作用: 忠実作用と同義らしい。
  • 忠実作用: 全置換群への表現として単射準同型写像になる。
  • 推移的作用: 任意の2点 x, y に対して、x・g = y となるgが存在する。G作用で、どこからどこにでも行ける。
  • 自由作用: ∀x∈X.(x・g =x) ⇒ g = e 点を動かさないなら単位元単位元以外は点を動かす。安定子が自明になる。
  • 主作用: 推移的かつ自由な作用。

主作用の定義としては、αを右作用として、β:P×G→P×P, β(p, g) = (p, α(p, g)) が可逆になる、ってのがある。これは分かりやすくていい。