任意のファイバーバンドルについて：
- For f:X→Y in C∞Man, F in Bdl[Y],
- ΓX(f#F)
X ΓX, f(F)
ΓXはX上での断面の層、ΓX, f は、fに沿った断面のX上での層。
次に、Fがベクトルバンドルで、引き戻しもベクトルバンドルになる場合：
- Set A := C∞X, B := C∞Y,
- For f:X→Y in C∞Man, F in VectBdl[Y],
- f*(ΓX(f#F))
BΓY(F)
(f*A over B) は、X上の構造層Aを、f*B により、B加群とみなしたもの。
共変微分（＝接続）を持ったベクトルバンドルを共変微分バンドル〈covariant differential bundle〉と呼ぶ。定義から、共変微分バンドルは常にベクトルバンドル。(F, ∇)がY上の共変微分バンドルのとき、f:X→Y in C∞Man-imm（はめ込みの圏）に対して、引き戻し共変微分バンドル (f#F, f#∇) を構成できる。f#∇を∇fとも書く。
- ∇f:ΓX(f#F)→ΓX(f#F)
∇fの曲率をR(∇f)、捩率をT(∇f)とする。
- Curv(f) := R(∇f)
- Tors(f) := T(∇f)
fははめ込み（非特異局所単射）なので、曲線や局面のパラメータ表示を含む。
圏C∞Man-immは、パラメータ表示された多様体上の共変微分を扱うための圏と言える。
[追記]微分バンドル〈differential bundle〉は、ベクトルバンドルと同じ意味でCADGで使われている。念の為に、共変微分バンドルにした。[/追記]
