線形群、行列群は意味が不安定、次のようにする。
- Gが線形群 ⇔ Vをベクトル空間として、G→Aut(V) という埋め込みを持つ。
- GがA乗法群 ⇔ Aを非可換かも知れない代数（多元環）として、G→A× という埋め込みを持つ。
- Gが代数乗法群 ⇔ 適当なAに対して、A乗法群。
Gが線形群なら、End(V)乗法群になるので、代数乗法群になる。Gが代数乗法群なら、埋め込みを使って、Aのなかでリー代数と指数写像／対数写像を作れる。これがメリット。抽象的な議論ではなくて、Aの加減乗除と級数計算で話ができる。特に、Aが行列代数なら非常に具体的。
次に、構造を持つ空間・多様体。
| 概念 | ユークリッド的形容詞 | ミンコフスキー的形容詞 |
|---|---|---|
| 内積 | ユークリッド | ミンコフスキー, 擬 |
| ベクトル空間 | ユークリッド, 内積 | ミンコフスキー, 擬内積 |
| アフィン空間 | ユークリッド | ミンコフスキー |
| アフィン空間 | ユークリッド | ミンコフスキー |
| 枠 | ユークリッド, 正規直交 | ミンコフスキー |
| 変換群 | ユークリッド, 回転鏡映 | ローレンツ |
| アフィン変換群 | ユークリッド, 運動, 剛体 | ポアンカレ |
| 多様体 | リーマン | ローレンツ, 擬リーマン |
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