サイクロトミック

その他代数 教育 用語法

円分体〈cyclotomic field〉のWikipedia項目から：

  • 円分体〈cyclotomic field〉は、有理数体に、1 のm乗根を添加した代数体である。

ふーん。m乗根は、正確には原始根だろう。さらに：

  • 代数体とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。
  • 有限拡大は次数有限の体の拡大である、すなわち、体 K の拡大可換体であって、K-ベクトル空間として次元が有限のものである。そのような拡大はつねに代数的である。
  • K/Kが代数的拡大とは： L のすべての元は K 上代数的である、すなわち、L のすべての元は K 係数のある 0 でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。

円分多項式〈cyclotomic polynomial〉は、次の多項式。

\Phi _{n}\left(x\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} \left(k,n\right)=1}}\left(x-e^{2\pi ik/n}\right).

多項式 xn − 1 は次のように円分多項式の積として既約分解される。

x^{n}-1=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}\left(x\right).\,

計算には、オイラーのトーシェント関数やらメビウスの反転公式やらが使われる。