ヤコビ微分圏

まず、デカルト微分圏への不満

1. 二階の微分に関する2つの公理がわかりにくい。もっと直感的な公理から定理として導きたい。
2. 微分の局所性が定式化されてない。これはマズイと思う。
3. 微分作用素の線形性は公理じゃないだろう。
4. 偏微分が明示的に定義されてない。

ヤコビ微分圏はこれらを解決する。

1. 二階の微分に関する公理は偏微分に関する公理に置き換える。
2. 微分の局所性を明示的に定式化する。
3. 微分作用素の線形性は、別な公理から導く。
4. 偏微分は明示的に定義する。

ヤコビ微分圏に特徴的な構成素は：

1. 線形対象と線形射からなる線形部分圏 L。
2. 開集合の定式化である、開包含射の部分圏 O と開包含射 oi_X,Y:X→Y 。局所性は、開包含射で定義する。
3. 圏論的構成子である線形台〈linear support〉 lin:|C|→|L|
4. 線形内部ホム [,]
5. 線形内部ホムに関連する演算子 ・（適用）, *（内部結合）, △（内部ペアリング）、▽（内部コペアリング）、（内部双積）。外部双積もあるが、デカルト積×で代用する。
6. ヤコビ微分コンビネータ J:C(X, Y)→C(X, [lin(X), lin(Y)])
7. 基本射： 線形部分圏内のデカルト積の構造射 λ_A, ρ_A, α_A,B,C、すべての開包含射（恒等射を含む）、左線形射／右線形射、ポイント射（1からの射）
8. 基本演算： 直積×（線形部分圏では双積）、結合
9. 偏微分の交換公理

次のものは定理として出る。

1. 制限に対する微分の局所性（開包含の微分公理より）
2. 微分作用素（微分コンビネータ）の線形性
3. 双線形写像の微分公式
4. ライプニッツ法則
5. 偏微分・全微分の公式
6. 逆関数の微分公式