「k-項のあいだの等式＝恒等(k + 1)-射」と考える。「等式は恒等射」主義。すべての次元に渡って等式を集めることは、すべての次元に渡って恒等射を集めること。できた恒等射の圏は無限次元圏だが、すべての次元でやせた無限次元圏。
一般的に、両端＝境界を指定されて射の存在を問われた場合、存在しても一意とは限らないしかし、やせた圏では、存在しないか一意に存在するかのどちらか。YESかNOなので二値的判断ができる。
- 指定されたk-項（境界＝プロファイルの指定）のあいだの恒等(k + 1)-射が存在しない ⇔ 指定されたk-項は等しくない equality NO
- 指定されたk-項（境界＝プロファイルの指定）のあいだの恒等(k + 1)-射が存在する ⇔ 指定されたk-項は等しい equality YES
等式の証明は、等式のあいだの射だが、等式の基本変形を表現するセルのコンビネーションになっている。証明はコンビネーションであり、証明による事実はコンビネーションの意味になる。
