Graphviz関係

• https://m-hiyama-memo.hatenablog.jp/search?q=graphviz
  • Graphvizの属性 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編
  • コマンドでお絵描き - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編
• https://m-hiyama-memo.hatenablog.jp/search?q=gv%3Anode

図式プロ関手は指数関手

関手インスティチューションと様々な圏 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 のセッティングで話をする。

Sをグラフ（あるいはコンピュータッド）と見た指標の圏で、射はプレーンな（モナドで拡張してない）射とする。Sはアンビエント圏への埋め込み J:S→A を持つ。つまり、SはA上に具象的。さらに、AはCat上に具象的とする。

Sの対象を図式（の形状）と見て、Diag(Σ, T) := A(Σ^L, T) と定義する。Lは相対モナドなので、単純な随伴状況ではないが、相対随伴状況にはなっているはず。

Diagを、S^op×A→A というプロ関手とみると、Diagは指数性を持つ指数関手となる。Diag(Σ, T) = T^Σ と書けるので、モデル（＝図式）のターゲット圏は指数の固定された底となり、指標が変動するベキとなる。指数の底の変換がターゲット圏の取り替え。

• 指数関手と構文論・意味論 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

この枠組みで、パラメータ化〈パラメトライゼーション〉の問題（指標のパラメータ化とグロタンディーク構成 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)）を考えたい。

関手インスティチューションと様々な圏

次の概念が識別されてないと曖昧模糊になる。

• 具象圏のベース圏
• モデルの圏（関手圏）のターゲット圏〈モデルのアビタベース〉
• 関手インスティチューション〈functorial institution〉のアンビエント圏〈ターゲット圏のアビタ〉
• 相対モナド（言語モナド）の余基礎圏（J:C→D のD）。

少し説明：

• アビタベースとは、圏論的実体の所属する圏〈アビタ〉が具象圏のときのベース圏。
• 関手インスティチューションとは、モデル Model[Σ] が、[Σ^L, T]_A で与えられるインスティチューション。Sen[Σ]は、指標の等式的部分を使って定義する。
• 言語モナドLとは、指標の圏の上で定義された相対モナド。相対モナドの J:S→D に現れるDが、相対モナドの余基礎圏〈余台圏〉。Sは相対モナドの基礎圏〈台圏〉。
• Σ^L := L(Σ)
• L(Σ) と ターゲット圏T は同じ圏Aの対象となる。
• 指標圏S上の相対モナドLの余基礎圏と、モデル達のアンビエント圏は一致してなくてはならない。
• アンビエント圏＝“ターゲット圏のアビタ”、アンビエント圏＝“相対モナドの余基礎圏”

典型的記法：

• S ： 指標圏
• A ： アンビエント圏、A in B、Bはメタアンビエント圏＝“アンビエント圏のアビタ”
• T ： ターゲット圏、T in A
• L:S→A ： 言語相対モナド＝自由生成モナド、背後に相対随伴がある。
• [Σ^L, T]_A ： モデル関手圏

具象圏とベーシング関手

CがB上の具象圏〈concrete category〉であるとき、Bはベース圏〈base category〉、具象構造を構成している関手 U:B→B をベーシング関手〈basing functor〉と呼ぶことにする。忘却関手と呼ぶのをやめる！

U:C→B, V:B→A が2つの具象圏のとき、ベーシング関手を結合して、U＊V:C→A は具象圏になる。具象圏構造は、圏の圏CATにおける相対構造になる。したがって、change-of-base概念が可能となる。

具象圏の圏や、具象圏の余インデックス付き圏を考えることによって、アビタとアビタベースの発想をより一般化できるのではないか？

• モットー：圏を単独で考えるのではなくて、ベーシング関手と共に相対的に考える。

アビタとアビタベース

セオリー論	その他
指標	インターフェイス
インハビタント	インスタンス、構造、モデル、代数
アビタ	クラス、型クラス、モデル・代数の圏
アビタベース	クラスのベースクラス、モデルのターゲット圏

全体構造はインスティチューションのなかでしか理解できない。例えば、オブジェクト指向の型階層は、インスティチューションからのグロタンディーク構成した平坦化圏のなかの包含射で定義される。

アビタとアビタベースの関係は、忘却関手、つまり台物関手〈underlying thing functor〉で記述される。インハビタントは、アビタの対象〈原子的存在〉であるが、アビタベース上では構造射のグラフとしての拡がりを持つ。

またセットアップだ

比較的短期間で使い捨てになりそうな機械だが、とりあえずセットアップ。過去のPCセットアップやインストールの記録は次のURL:

• https://m-hiyama-memo.hatenablog.jp/archive/category/pc-setup
• https://m-hiyama-memo.hatenablog.jp/archive/category/%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%EF%BC%8F%E8%A8%AD%E5%AE%9A
• https://m-hiyama-memo.hatenablog.jp/search?q=powershell

最初に必要なこと：

1. キーバインドの変更：
   1. Ctrl2Capが今でもなんとか使えるらしい。
      https://docs.microsoft.com/en-us/sysinternals/downloads/ctrl2cap
      https://www.atmarkit.co.jp/ait/articles/0907/03/news103.html
   2. KeySwapが今でも使えるらしい。
      http://pasokatu.com/8460
   3. 自分はどっち使っていたかな？ KeySwapのような気がする。→ KeySwapにした。
   4. OSのネイティブ機能かな(↓)。
      https://www.pc-jozu.com/mame/windows10-keyboard-change/
2. キーバインドの実際：
   1. CapsLock →左Ctrl
   2. 変換→半角／全角
3. 日本語入力：
   1. Google日本語入力をインストールすればよい。
   2. だが、単語登録をエクスポート／インポートが必要だ。 https://pc-karuma.net/windows-google-ime-dictionary-export-import/
4. Google Chrome と Firefox の最新版をインストール。
5. Microsoft VSCode をエディタに使おうかな。普通にダウンロードしてインストールすればいいだろう。https://code.visualstudio.com/
6. EmacsやMSYSをどうしようか？ もう要らないかもなー。
7. Git for Windows だけでいいかな。自分の記事→ https://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20151013/1444704189

hrタグと空行

<hr>
なんとかかんとか。

このように、hrタグと次の行をひっ付けると余分な空行が入る。

<hr>

なんとかかんとか。

ソースで空行をあけると、表示では空行が付かないでくっついて見える。

以前との互換性はない。ソースでくっついていても空行は付かなかったから。

写像柱から関手柱

写像柱の類似として関手柱を定義しして、左右の拡張を関手柱圏からの関手とみる。

• https://en.wikipedia.org/wiki/Mapping_cylinder
• https://ncatlab.org/nlab/show/mapping+cylinder

*1

*2

*1:記事： https://link.springer.com/article/10.1007/s00454-013-9551-8
画像： https://media.springernature.com/full/springer-static/image/art%3A10.1007%2Fs00454-013-9551-8/MediaObjects/454_2013_9551_Figb_HTML.gif

*2:記事： https://math.stackexchange.com/questions/37736/x-and-y-are-homotopy-equivalent-leftrightarrow-exists-z-x-y-are-str
画像： https://i.stack.imgur.com/CEInk.jpg

All Concepts

• All Concepts are Kan Extensions

関手柱圏と部分固定関手圏

カン拡張のために、柱の絵を描く - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) で出てくる“柱の圏”Cyl_Fは、次のように書ける。

• [Cyl(K:C→D), E]/(F:C→E)

Cyl(-)は、関手から関手柱圏を構成する構成法で、Fは関手柱圏の部分圏とみた底面圏からの関手。上の表現は、底面をFに固定した関手圏。

必要な概念は：

1. 関手の関手柱圏
2. 部分固定関手からなる関手圏

圏の錐

スピヴァック本だと、左右が使われている。

• 左錐 ＝ 錐
• 右錐 ＝ 余錐

関手レベルではなくて、圏レベルで錐を構成する。

• C^◁ ： Cの左錐＝Cを底面とする錐、三角が左向き
• C^▷ ： Cの右錐＝Cを底面とする余錐、三角が右向き

左右とも頂点を cone point〈錐点〉と呼んでいる。

• 左錐形状（◁印）の始対象は錐点である。
• 右錐形状（▷印）の終対象は錐点である。

圏に錐構成した圏、その圏からの関手の両方を錐とオーバーロードする。ヤバイ。

• 極限は左錐形状からの関手圏の終対象＝左極限？ 右カン拡張の特殊ケース
• 余極限は右錐形状からの関手圏の始対象＝右極限？ 左カン拡張の特殊ケース

圏の錐（左と右）からの関手＝図式を固定して、それに対してスライス圏を構成する。スライス圏＝錐の圏。オーバー圏／アンダー圏もスライス圏＝錐関手圏の一種。

随伴系の二重圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) より：

• 極限＝逆極限＝左根≒右カン拡張

ほぼ置き換え可能

論理的に100%同値ではないが、相互に置き換えてもいい命題を表すために、'' を使う。

• a∈X a:1→X in Set
• A∈|C|, C A:☆→C in CAT
• f:A→B in C f::A⇒B:☆→C in CAT

左が集合論的、右が圏論的な発想だといってよい。圏論的な発想では、要素や対象がなくても話は進む。モノ〈インハビタント〉の内部構造を見ずに、モノ達のアビタ内での相互関係だけを見るのが圏論的な発想。

モノはモノ自体では特徴や機能を持てない。モノが居る／置かれているいる世界〈アビタ〉と、同じ世界に居る他のモノ達がない限り、そのモノについて語れない。

• 大乗仏教中観派と一般モデル理論 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
• 構造、スタッフ、性質、アビタ - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

リモート・コミュニケーションの感想

1. 声の役割が重要。滑舌・発声に気をつける、練習する。演劇役者／声優的なスキル。
2. 身振り手振りとか、フリップ（スケッチブックや小さなサイズのホワイトボードの利用）は意外に効果がない。
3. やはり共有ホワイトボードが欲しい。

リモート・コミュニケーションの問題点

• https://news.livedoor.com/article/detail/18167498/

まとめると：

1. 遅延や操作ミスなどの細かい違和感の積み重ね
2. モード（e.g. 仕事／プライベート）を変えにくい
3. アイコンタクトが取れない
4. 複数人が並列配置される状況（現実には起こりえない）
5. 新型コロナ禍に思いがいく。

ダミー記事

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