この話は、Gが離散群のときしかうまくいかないかも知れない。離散群のときは、基本亜群の表現が並行移動を与える。が、一般には、平行移動が簡略化されない。
接続付きG-バンドルを次の二つの表現に分解することができる。表現は関手のこと。
- 底空間Bの基本亜群Π(B)のG-表現 μ:Π(B)→G
- 構造群Gの多様体表現 ρ:G→Man
群Gを亜群とみたときの対象を'*'と書くと、ρ(*) = F が典型ファイバーとなる。
亜群のあいだの関手μは、適当な開被覆によりチェック1-コサイクル(によるコホモロジー類)で表現できる。
- 基本亜群のG-表現 ←→ チェック1-コサイクル
チェック1-コサイクルからG-主バンドルが作れる。
- チェック1-コサイクル ←→ G-主バンドル
次の三者が対応する。
- 接続付きG-主バンドル の同型類
- 基本亜群Π(B)のG-表現 の自然同値類(関手圏の同型類)
- G係数のチェック1-コサイクル のコホモロジー類
接続が必要なのは、Π(X)の要素であるホモトピー類の代表元であるパスを全空間のパスに持ち上げる必要がある。持ち上げのために、水平方向の基準(水平空間の分布や、水平方向の流れ)が必要。常微分方程式のコーシー問題が解けること。
ファイバー次元が0のときは微積分とは関係ないが、被覆空間としての性質が接続と持ち上げを定義する。
- モットー: 接続とはコーシー問題を局所一意可解性を与えるメカニズム