その他代数
ほんとのパリティじゃなくても、パリティ検査部〈parity check part〉と言っているので、コード（と呼ばれる部分ベクトル空間）の生成行列を標準形で書いたときの対角行列以外の部分は、「パリティ検査行列」と言いたいところだが、双対符号（と呼ばれる部分…
基本的であるにも関わらず、用法がゆれている言葉達： 符号〈コード〉 記号〈シンボル〉 ブロック 語〈ワード〉 符号長 列〈シーケンス | ストリング | ストリーム〉 タプル、n-タプル q項〈q-ary〉 a codeword of a code メッセージ パケット 情報 データ …
ナントカ拡大： 体の拡大 正規拡大 分離(的)拡大 単(純)拡大 有限(次)拡大 代数(的)拡大 整拡大 （環の拡大） 整元の概念 純非分離拡大 Radical extension （ベキ根拡大） CYCLOTOMIC EXTENSIONS（円分拡大） アーベル拡大 ガロア拡大 クンマー拡大 その他：…
円分体〈cyclotomic field〉のWikipedia項目から： 円分体〈cyclotomic field〉は、有理数体に、1 のm乗根を添加した代数体である。 ふーん。m乗根は、正確には原始根だろう。さらに： 代数体とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。 有限拡大は次数…
えっ、知らんかったわ。代数的整数とは、普通の整数係数のモニック多項式の根となるような複素数、というのは知っていたが、「体Kの整数」の定義が別にある。 f:Z→K を、f(n) = 1 + 1 + ... + 1 （n個）で定義して、fの像集合をKの整数の集合とする。 これで…
体Kを係数域とする多項式環を K[x] と書く。不定元xの名前は問題ではない。K K[x] という対応は、Pol1:Field→CRng という関手となる。Fieldの射は体の拡大だと思ってよいので、K⊆L に対して、Pol1(K⊆L):K[x]→L[x] in CRng は、係数拡大に伴う環の埋め込み操…
標数0に違和感を感じるようなので、 0 + 1 + ... + 1 （1がn個） という式を考えて、 0 + 1 + ... + 1 = 0 となる最初のnを標数と定める。標数0なら 0 = 0 が最初に成立して、その後はずっと成立しない。ところが、それだとあらゆる体の標数が0になってしま…
Xを位相空間、FをX上の前層だとする。前層Fをアーベル前層と非アーベル前層に大別して、そのチェックコホモロジーを考える。 アーベル前層 ： 可換環前層上の加群の前層と同じ。足し算引き算が出来る。 非アーベル前層 ： 加群の構造を持つとは限らない群の…
群の作用 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 にある程度書いてあるが、肝心のことが書いてない。 安定子： Gx = {g∈G | x・g = x} をxの安定子〈安定部分群〉と呼ぶ。安定子は部分群。 効果的作用： 忠実作用と同義らしい。 忠実作用: 全置換群へ…
多項式関数の空間をPとする。作用とか形式： k次係数ととる ck ∈ P* aで値をとる va ∈ P* 微分する D:P→P 積分定数0の不定積分を求める J:P→P 区間で定積分する Iab:P→R 変数を平行移動する Ta:P→P f(x) \(\mapsto \) f(x + a) 変数をスケールする Sa:P→P f(…
古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化： ダイレクトインデックス記法 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)とかでモダン化をやってみたのだが、添字の技法をちゃんと定式化するには、添字集合の集合の性質が必要。ℬを集合の集合（族）とする。ℬは空集…
積分や和分〈総和〉を使って関数を変換することがある。フーリエ級数、フーリエ変換、ラプラス変換、Z変換など。Kを積分核とすると：\( g(y) = \int_{x\in X} f(x)K(x, y) dx \)場合により積分ではなくて和分を使うこともある：\( g(y) = \sum_{k\in X} f(k)…
フレームとコフレームと解釈 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の続き。まず、ベクトル（ケットベクトル）とコベクトル（ブラベクトル）。 \vec使用 \overset使用 \overset使用 右矢印は\vecでも\oversetでも変わらないが、左矢印と右矢印が対称にはな…
まず、Xを集合として、 X[n] ： Xのn-縦タプルの集合 X[n] ： Xのn-横タプルの集合 Xn, X[n], X[n] は同型だが同一視はしない。Vがベクトル空間のとき、V[n]は、ベクトルのn-横タプルの集合、Vのベクトルのn-横タプルを、Vのベクトルn-横タプル、nが不要なら…
