PolLinは： 対象はベクトル空間である。 多対象はベクトル空間のリストである。これを多ベクトル空間と呼ぶ。 多射は多線形写像 f:Γ→Δ 多射 f に対して、f! : Γ→(Δ) mullin, !f! : (Γ)→(Δ) lin が対応する。 演算には、カット（単純カット、マルチカット、フ…

星座とは、点と矢印で出来た図形＝有向グラフ。4頂点5辺。頂点： ベクトル空間の線形代数 ベクトルバンドルの理論 加群の線形代数 加群層の理論 辺： 一点から空間へ 1→2 大域セクション 2→3 体から可換環へ 1→3 局所セクション 2→4 単数形から複数形へ 3→4 …

次の列がある。 Set = Total ⊆ Partial ⊆ ND Totalは双デカルトな半環圏、NDはテンソル半加法圏、Partialはその中間のなにか。これは、ND上に積み上がった3段のパレスになっている。フレイド圏 J:C→D も埋め込みJで C⊆D と考えれば二段のパレスだ。どうもパ…

代数幾何の場合：結局、Eはベクトルバンドル。Eの条件がきびしいが、引き戻ししてるから。ベクトルバンドルじゃないと、うまく引き戻しできない。前送りはなんでもできるから気にしないでいい。セクション空間の同型性の基本定理。

微分ベクトルバンドルとその準同型 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の訂正・続き。「微分作用素が付いた」の意味で「微分〈differential〉」を形容詞に付けるのは一般的でないようだ。次のようにする。 共変微分＝コジュール接続 共変微分付き＝コジ…

パレス、使える！ - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続き。デカルト作用圏（例えば、デカルト作用圏が面白い - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)）の純部分圏は、やはりパレスの例になっている。フレイド圏ももちろんそうだ。パレスの例は： …

従来・伝統的 新 スカラー スカラー要素 + スカラー射 ベクトル ベクトル要素 + ベクトル射 テンソル(1) 多行列 - テンソル = テンソル射 テンソル(2) {型}?…のベクトル - 基本空間 - リテラル空間 反変ベクトル 正リテラル空間のベクトル 共変ベクトル 負リ…

結局、スパイダーの絵にキチンと対応する多線形代数 -- 多圏ベースの線形代数を作らないとダメなんだと思う。多線形代数における行列として多行列〈polymatrix〉を定義して、多行列の計算体系が多圏のなかでどう解釈されるかを明示しないと曖昧さは解消しな…

n段のパレス - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 いったん気付いてしまうと、これは使える感じ。非関手／非自然変換の手法と相性がいい。圏論的モダリティも、パレスを作る手法と解釈できる。テンソル計算では、次のようなパレスが使える。 複線形写像…

[追記]これはドミニオンの話だ。[/追記]添字構造〈index structure〉とは、 Xは有限集合の集合である。 D:X→X は写像である。 For I∈X, dI:I→D(1) は写像の族である。 次の条件を満たす。 Xは、空集合を含む。 Xは、少なくとも1個の単元集合を含む。 I, J∈X …

ダイレクトインデキシングを使うときは、 index i, j, k∈I basis-of A index a, b∈J basis-of B このインデックス宣言〈{スカウテン | スハウテン}宣言〉のもとで、xi,ja,k,b と書くと、テンソルxの型は、添字を下から上に読んで B,A,B → A, A だとわかる。…

随伴 双対 別名 左随伴関手 左双対空間 プライマル空間 右随伴関手 右双対空間 パートナー空間 単位自然変換 コペアリング 余評価射 余単位自然変換 ペアリング {右}?評価射 反ペアリング 左評価射 自然変換のメイト 射の双対 同型射のコンパニオン 双対の逆…

ゲルファンド対応： 特別 一般 ゲルファンド対応 ベクトル←→余形式 フレーム ←→ 余座標 コード対応 コベクトル←→形式 コフレーム ←→ 座標 さらに、フレームとコフレームのあいだにはコンパニオン対応がある。 フレーム（プライマル） ←→ コフレーム（コンパ…

ゲルファンド変換は複数あったようだ。これは、意外に大発見かもしれない。 v :R →V ベクトル ----------------------------- ゲルファンド化 v^ :V*→R 双対空間の形式 a :V*→R 双対空間の形式 ------------------------------ 反ゲルファンド化 `a: R→V ベ…

圏論の随伴とメイト理論を使った線形代数。双対性はコンパクト閉圏のなかで定式化する。背後には2-圏論。 線形代数 メイト理論 ベクトル空間 関手 双対空間ペア 随伴関手ペア 双対パートナー空間 随伴パートナー関手 余評価 単位 評価 余単位 双対メイト 随…

呼び名： Vk の要素 ＝ ベクトル横k-タプル (V*)k の要素 ＝ コベクトル縦k-タプル Rk の要素 ＝ スカラー縦k-タプル Rk の要素 ＝ スカラー横k-タプル 積＝双線形写像 を定義する。dim(V) = n で、k は任意の自然数 Vk × Rk →V k-スパニング (V*)k × V →Rk …

[追記]層論化、まじめに考えると大変だわ。[/追記]層論化前層から層を作る層化とは別に、「ナニカの層論化」がある。定式化する。Cが圏のとき、SがTopの部分圏（Topへの埋め込みを持つ圏）だとして、グロタンディークサイトの構造を持たせる。この状況で、 …

現行の記法・用語は文句言おうがどうにもならないので、基本的に現行記法・用語を使う方針。以下、順不同。 推奨 現行 チャート {局所}?座標{系}? チャート開集合 座標近傍 チャート写像 座標{系}? チャート成分関数 座標{成分}?{関数}? 座標関数系 {局所}?…

偏微分を∂を使って書く習慣、いまさらどうにもならないが、意味なかった。d/dx でよかった。∂/∂x は不適切な記法だった。(∂/∂xi)i∈1..n と (dxi)i∈1..n は互いに双対基底〈双対フレーム〉なのだが、この点を合理化するにも次の習慣が良かった気がする。v = […

定数と定常 ケーラー微分 正則〈非特異〉なバンドル射と多様体射 代数的テイラー展開と微分基底 導分の前送り 定数と定常ベクトルバンドルの加群層 M over A があるとする。d:A→Ω が基礎微分系で、∇は、M上の共変微分とする。∇:M→MΩ。Mの要素＝セクションが∇…

雑多かつ順不同。XがA上のM-値導分のとき、X(a) = 0 であるaは、X方向に定常〈stationary〉と呼ぶ。すべての方向に定常なAの要素は定常元〈stationary element〉と呼んでいい。「定数」でもいいが、「定数」は別な意味で使いたいから「定常」にする。 定常で…

代数的な導分〈derivation〉と解析的な微分の関係。「微分する＝テーラー展開する」だ。n階（n回）までの微分の情報は、n次までのテーラー展開に完全に含まれる。だから、オラクル〈神託〉でテーラー展開がもらえれば、それはもう微分できたことになる。問題…

作用の性質を表す言葉 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 にもあるが、新たにまとめる。 Isotropy Group Some elements of a group G acting on a space X may fix a point x. These group elements form a subgroup called the isotropy group, d…

主バンドルとは限らない一般の構造群無指定のファイバーバンドルでも、分裂完全列により接続を定義することができる。主バンドルとは違い、大域群作用に関する同変性は不要。この例は、線形代数→ベクトルバンドル理論 の良い例。(E, B, F, π)がファイバーバ…

整理されてないなー。まず、群（モノイドでもいいが）のC表現とは、 F:G→C in CAT という関手で、Gの唯一の対象を*として、F(*)を表現対象（当然にCの対象）と呼ぶ。Fの射部分〈morphism part〉は、G→AutC(A) （Aは表現対象）という群準同型写像になる。Fの…

分裂完全列については： https://en.wikipedia.org/wiki/Split_exact_sequence (P, B, G, π, ρ) を主バンドルとする。 Pは全空間 Bは底空間 Gは構造群であり典型ファイバー〈{typical | standard} fiber〉 πは射影 ρは、GのPに対する右作用 リー群Gのリー環…

群やモノイドの作用があるとき、 (G, S, α) が群（やモノイド）の作用構造〈action structure〉 Gは作用群〈acting group〉 Sは被作用集合〈acted set〉 αは作用〈action〉 Sがとある圏C内に居るとして、G→AutC(S) は群GのC表現になる。例えば、Vect表現。G…

符号〈コード〉の定義がダメだった。Qをアルファベットとして、Qnの部分集合をコードと定義しているが、実際はそれじゃダメだ。Qk, Qn, g:Qk→Qn の3つ組がブロック符号系だとは： gが単射 のとき。この構造の役割名は： Qk を情報空間 Qn をブロック空間 gを…

代数符号 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 代数符号の言葉 - (新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ↑記事とだいたい同じことだが、自分で使う用語をもう一度まとめておく。Qはアルファベット（形式言語理論の用語）で、その要素はシンボルと呼ぶ。…

ほんとのパリティじゃなくても、パリティ検査部〈parity check part〉と言っているので、コード（と呼ばれる部分ベクトル空間）の生成行列を標準形で書いたときの対角行列以外の部分は、「パリティ検査行列」と言いたいところだが、双対符号（と呼ばれる部分…