主バンドルとは限らない一般の構造群無指定のファイバーバンドルでも、分裂完全列により接続を定義することができる。主バンドルとは違い、大域群作用に関する同変性は不要。
(E, B, F, π)がファイバーバンドルのとき、全空間の接バンドル TE の部分ベクトルバンドルとして、垂直バンドル（正確には、垂直接ベクトルバンドル）を定義する。
- VE = Ker(Tπ), Tπ:TE→TB
核ベクトルバンドルは、線形代数と同様に定義できる。VE⊆TEなので、包含写像がベクトルバンドル射として定義できる。
- i:VE→TE over B
包含射は単車だから、とても短い〈very short〉完全列ができる。
- 0→VE→TE exact over B
- 0→VE→TE→TE/VE→0 exact over B
一方で、次のベクトルバンドル同型がある。
- TE/VE
π#TB
π#TB は、底空間の接バンドルの射影による引き戻しバンドル。同型だから、先の短完全列は次の形でもよい。
- 0→VE→TE→π#TB→0 exact over B
これが分裂〈split〉するのは2つのケースがある。
- レトラクト射 r:TE→VE が存在する。左分裂する。
- セクション射 s:π#TB→TE が存在する。右分裂する。
レトラクト射rは、全空間E上のベクトルバンドルVEに値を持つ1次微分形式とみなせる。
- r∈Ω1(E, VE)
もちろん、微分形式rは層化（層論化）できる。
線形代数の標準的議論から、微分形式＝ベクトルバンドル射 r の核バンドルは、もとの包含射の像バンドルと一致する。
- Ker(r) = Im(i) over E
埋め込みベクトルバンドル射 VE→TE から誘導される標準的完全列の分裂が、ファイバーバンドルの接続になる。これは単純でいい。
Ker(r) = Im(i) =: HE と置くと、HEはTEの部分ベクトルバンドルになる。定義から、VEとHEは互いに補空間になり、TEの直和分解を与える。次の概念は同じになる。
- VE→TE から誘導される完全列の分裂
- レトラクト形式＝接続形式 r∈Ω(E, VE)
- VEに対する補空間バンドルHV
- TEの直和分解
- TEの射影ペア (v, h):VE←TE→HE
